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体積 座標軸以外の直線のまわりの回転 [ネコ騙し数学]

体積 座標軸以外の直線のまわりの回転


graph-390.png問題1 曲線

  

と直線y=xとによって囲まれる部分を、y=xのまわりに回転して立体を作る。

(1) 直線y=x上で原点からの距離がtである点をPとし、Pをとおりy=xに直交する平面でこの立体を切った切り口の面積S(t)を求めよ。

(2) この立体の体積を求めよ。

【解】

(1) Pからx軸におろした垂線の足をHPを通りy=xに直交する直線と曲線y=x²/√2との交点をQとする。

OP=tだから、Pの座標は

  

また、∠POH=∠OPH=45°、∠QPO=90°だから、∠QPH=45°

よって、点Qの座標は

  

Qは曲線上にあるので、
  ts-ck-01.png

よって、切り口の面積S(t)

  


(2) y=xは原点Oと点A(√2,√2)で交わり、したがって、OA=2

よって、体積V
  ts-ck-02.png

ここで、

  

で、とおくと、t=0にはu=1t=2にはu=3が対応する。

また、

  

よって、
  

ゆえに、

  

(解答終了)

 


graph-391.png問題2 放物線y=x²−xと直線y=xとで囲まれた部分が、この直線のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
【解】

放物線y=x²−xと直線y=x45°時計回りに回転させると、

  

x軸になる。

①をyについて解くと、

  

よって、

  

(解答終了)

 

回転を利用すれば上の解答のように解くことができるが、次のように解くこともできる。

graph-392.png【別解】

放物線y=x²−xと直線y=xの交点は原点OA(2,2)

曲線上の点P(x,y)からy=xにおろした交点をQ
  

直線PQの方程式は

  

したがって、

  

また、直線と距離の公式より点P(x,y)y=xの距離は

  

よって、体積V
  ts-ck-04.png

(解答終了)


 


あまりいい解き方ではないが、次のような解答を作ることもできるだろう。


問題3 と座標軸とが囲む部分が点A(1,0)B(0,1)を通る直線のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ。

ts-ck-09.png【解】

は、媒介変数tを用いて

  

とあらわすことができる。

P(t³,1−2t+t²)からy=xにおろした垂線の足をQとし、

  

とすると、直線の方程式PQ

  

である。

  

直線と点の距離の公式より

  

よって、体積V

(解答終了)


これよりは、次のように解いたほうがいいだろう。

  


  

と同じ曲線。

graph-400.pngだから、

  

ここで、
  ts-ck-06.png

と変数を変換すると、②は

  ts-ck-07.png

になる。

つまり、曲線①の正体は放物線の一部ということが分かる。


そして、このことを利用すると、次の問題を解くことができる。



【解】

ts-ck-08.png

(解答終了)


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