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解いてみるケロ [ネコ騙し数学]

解いてみるケロ


昔、東京大学の入試問題で「π³とどちらが大きいか」という証明問題が出されましたが、証明はできないものの、計算尺を使えばほうが大きいとすぐ分かります。
http://www.pi-sliderule.net/sliderule/premise/toha.html


このようなことを書いてあるサイトがあったので、この大小関係を示してみることにするにゃ。

 

π³の対数を取ると、になる。この2つの数を3π>0で割ると、

  

になる。

ちなみに、この対数は自然対数で、

  


さてさて、ここで次の関数を考える。

  

微分すると、

  


muzui01.pngy'=0
になるのはx=eのときだから、増減表を書くと、次のようなる。

toudai-hyou.png

e<3<πだから

  


これで大小が決まった。


ひょっとしたら、π>3であることを証明しないとマズいのかもしれない。


pi.png中心をOとする半径1の円を書くにゃ。右図のようにこの円に内接する正12角形を作る。そして、図のように正12角形の頂点ABと中心Oをそれぞれ結び、さらに、ABを結ぶ。

そうすると、∠AOB=30°
したがって、

  

これが12個あるのだから、正12角形の面積S

  

これは、円Oの面積πよりも小さいので、

  



eと3の大小関係は・・・


そこまで要求するか?

  

だケロ。

2項定理から

  

したがって、e3より大きくなることはない。

つまり、e≦3だケロ。


ということで、すべて、めでたく証明された!!


何だにゃ、

  

を使っているって?

n=3のとき

  

だから、⑨式は成立する。

n=kk≧3) のとき成立すると仮定する。

つまり、

  

n=k+1のとき

  

よって、n=k+1の時にも成立。
以上のことより、数学的帰納法によって⑨は成立する。


タグ:微分積分
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