包絡線 [ネコ騙し数学]
包絡線
αをパラメータとして含む曲線群
の各曲線と1点だけで接する曲線を包絡線という。
f(x,y,α)をC¹級とする。
曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xとyはαの関数である。これを
とする。
(1)と(2)は接するのだから、
また、φ(α)、ψ(α)はf(x,y,α)=0上の点だから
これをαで微分すると、
ゆえに、包絡線は
の交点である。
逆に(4)の2つの方程式から
であるαの関数が存在するとする。
(4)より
(5)をαで微分すると、
(6)よりだから
したがって、でないならば接する。
少し補足説明する。
例えば、
という曲線(群)があるとする。
αの値を一つに固定すると、たとえば、α=1とすると、①は中心(1,0)、半径1の円になる。
次にα=1/2とすると、中心(1/2,0)、半径1/2の円になる。このようにαを変化させれば、中心(α,0)、半径|α|の曲線群を得ることができる。
図から明らかなように、この曲線群は、αの値にかかわらず、y軸、つまり、x=0に接する。つまり、x=0が①の包絡線ということになる。
問題1 次の曲線群の包絡線を求めよ。
【解】
(1) αで偏微分すると
で、
よって、包絡線は放物線y²=4x
(2)
①をαで偏微分すると、
①と②を2乗して足すと
よって、包絡線は原点を中心とする半径pの円。
をαで偏微分すると、
したがって、
x=−1は包絡線。
x=0は特異点の軌跡。
(解答終了)とすると、
したがって、x=0、y=αは特異点。
また、よって、(x,y)=(0,α)において
(0,α)は結節点で接線は2本引ける。
問題2 次の包絡線を求めよ。
(1) 円x²+y²=r²のy軸に平行な弦を直径とする円の曲線群(2) 座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群
【解】(1) 弦の両端をA、B、その中点をCとし、C(α,0)とする。
三角ACOは直角三角形だから、ABを弦とする円の半径ACはよって、円の方程式は
αで偏微分すると、
これを①に代入すると、
(2) 直線の方程式を
とすると、条件より
①をαで偏微分すると、
②をαで微分すると
③に代入すると、
とおくと、
これを①に代入すると、
②に代入すると、
④を②乗したものと⑤の辺々を掛けると、
よって、アステロイドになる。
(解答終了)タグ:微分積分
2016-11-29 12:00
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