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番外編 だ円の回転 [ネコ騙し数学]

番外編 だ円の回転


問題 曲線5x²+6xy+5y²=8
・・・①を原点のまわりにθだけ回転して、Ax²+By²=C・・・②の形にしたい。θの値をいくらにすればよいか。


(x,y)を原点まわりで反時計回りにθだけ回転したときの点を(X,Y)とすると、(x,y)(X,Y)との間には

  

という関係がある。

行列で書くと、

  

したがって、

  

これを①に代入すると、

  

これを整理すると、

  

ここで、

  

だから、③は

  

これがAX²+BY²=Cの形になるためには、

  

したがって、θ=45°=π/4(rad)にすればよい。

何故ならば、cos90°=0だから。

daen-kaiten-01.pngsin90°=1だから、④は

  

となり、このXYxyに戻して、

  

これは、右図に示すだ円。

(解答終了)


回転させただけだから、だ円の面積は変わらない。

だ円、

  

の面積はπabだから、

  

の面積は

したがって、

  

の面積も

積分することなく、曲線①の面積が求まった。


ちなみに、赤い線がだ円①の長軸、紫色の線をだ円①の短軸という。


なぜ、そうなるかについては、将来、2×2の行列と1次変換について詳しく述べることにして、他の方法で回転角θを求めることもできる。


曲線①から

  

という行列を作り、固有値と固有ベクトルを求める。

  

⑥が(x,y)=(0,0)以外の解をもつためには、行列式

  

で、k=2,k=8を⑤にそれぞれ代入すると、k=2のときx+y=0k=8のときx−y=0

x+y=0は赤の直線、つまり、長軸の直線の方程式。

x−y=0は紫色の直線、つまり、短軸の直線の方程式。

実はそれだけではなくて、

  

というだ円の方程式まで出てしまうのであった。

一般化すると、

  

という2次曲線の方程式がある場合、

  

という行列の固有値と固有ベクトルを求めるとよいという話でした。


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