第１回 数列の極限

第１回　数列の極限

§１　数列の極限

数列の定義

自然数Nから実数Rへの写像

　　

を実数列、あるいは数列といい、あるいは単にと書く。

いまかりに、数列を

　　

と書いてあらわすとすると、数列の各数を項といい、a₁を初項、a₂を第２項、そして、を第n項という。

がnの数式の形で書かれ、それによって数列が一般的に表されるとき、を一般項という。

例

　　

という数列の一般項は

　　

例で取り上げた数列は、nが限りなく大きくなると、第n項は限りなく0に近づく。

このことを「数列の極限値は0である」といい、

　　

や

　　

であらわす。

一般に、数列において、nが限りなく大きくなるとき、がある一定の数αに限りなく近づくならば、「数列はαに収束する」といい、このことを

　　

や

　　

と書き、αを数列の極限値という。

問　次の数列の極限値を求めよ。

【答】　（１） 1　（２） 1　　（３） 1

数列が収束しないとき、数列は発散するという。

数列が発散するときは、次の３つの場合がある。

（１）　が正の無限大に発散する　（例　）

このとき、と書く。

（２）　が負の無限大に発散する　（例　）

このとき、と書く。

（３）　（１）、（２）のいずれでもない場合　（例　）

　（３）の場合を振動するという。

§２　数列の基本的性質

定理

２つの数列が収束し、であるとき

　　

上の定理は、高校の数学の範囲では証明できないので、これは無条件でそのまま受け入れて欲しい。

問題　次の事柄は正しいか。正しくなければ反例をあげよ。

【解】

（１）　正しくない。

　　

（２）　正しくない。

　　

（３）　正しくない。

　　

（４）　正しい。

（解答終了）

 

定理

　　

【証明】

（Ⅰ）　r>1のとき

r=1+a（a>0)とおくと、２項定理より

　　

よって、

　　

（Ⅱ）　r=1のとき

　　

（Ⅲ）　r=0のとき

　　

（Ⅳ）　−1<r<1のとき

とおくと、b>1だから（Ⅰ）より

　　

したがって

　　

よって、

　　

（Ⅴ）　r<−1のとき

−r=bとおくと、b>1。

nが正の偶数のとき、すなわち、n=2k（kは正の整数）のとき

　　

nが正の奇数の場合、n=2k−1のとき

　　

よって、この極限は定まらず、すなわち振動する。

（証明終了）

具体的な極限の計算は次回。

タグ：極限 数列