第５回 無限級数の和２

第５回　無限級数の和２

問題１　次の無限等比級数の和を求めよ。

無限等比級数の和の公式を使う。

　　

【解】

（１）は初項a=1、公比の無限等比級数だから

　　

（２）　公比をrとすると、

　　

初項a=2。

よって

　　

（３）　公比rは

　　

初項a=√3−1。

よって

　　

（解答終了）

 

問題２　無限等比級数がある。その和が１で、各項を２乗して作った無限等比級数の和が２である。各項を３乗して作った無限等比級数の和を求めよ。

【解】

等比数列の初項をa、公比をrとすると、

　　

各項を②乗して作った無限等比級数の和は２だから、

　　

①をaについて解き、

　　

これを②に代入すると、

　　

①より

　　

よって、各項を３乗した和は

　　

（解答終了）

問題３　平面上を動く点Pが、原点Oを出発しx軸の正の方向に1だけ進み、次にy軸の正の方向に2/3だけ進み、次にx軸の負の方向に(2/3)²だけ進み、次にy軸の負の方向に(2/3)³だけ進む。以下、このような運動をかぎりなく続けるとき、点Pの極限の位置の座標を求めよ。

【解】

右図のように限りなく進んだ点Pの極限の座標を(x,y)とすると、

　　

（解答終了）

原点OをP₀とし、P₀P₁=1とすると、

線分の長さには

　　

という漸化式が成立し、

　　

となる。

nが1増加すると、進行方向が反時計回りにπ/2=90°変わる。

これ以上書くと混乱を招くだけだから、これ以上は何も言うまい。

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