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確率の初歩7 問題編2 [ネコ騙し数学]

確率の初歩7 問題編2



問題1 Aの箱には1個の赤球と2個の青球と3個の白球が入っている。Bの箱には10本のくじが入っていて、そのうち3本が当たりくじである。

Aの箱から1個の珠を取り、それが赤であれば同時3本、青であれば2本、白であれば1本のくじをBの箱から引けるものとする。

(1) ちょうど1本当たる確率を求めよ。

(2) 少なくとも1本当たる確率を求めよ。

【解】

(1) Aから赤が出てBから1本だけ当たる事象、Aから青が出てBから1本だけ当たる事象、Aから白が出てBから1本だけ当たる事象の確率は、それぞれ、

  

3つの事象は互いに排反なので、求める確率は、

  


(2) Aから赤が出て1本も当たらない事象、Aから青が出て1本も当たらない事象、Aから白が出て1本も当たらない事象の確率はそれぞれ

  

3つの事象は排反なので、1本も当たらない確率は

  

少なくとも1本当たる事象は、1本も当たらない事象の余事象なので、求める確率は

  

(解答終了)

 


問題2 5個のABCDEを、横に1列に出たらべにならべたとき、次のものを求めよ。

(1) ABの右にあり、同時にCDより右にある確率。

(2) ABが隣り合わせにならない確率。

【解】

(1) ABCDEの5個をならべる順列の総数は5!通り。

ABの右にあり、同時にCDより右にある順列の個数は

  

よって、求める確率は

  


(2) ABが隣り合わない事象は、ABが隣り合う事象の余事象。

ABが隣り合う順列は、ABを1個と考え、4個の順列を考えれば良いので、4!通り。

したがって、ABが隣り合う確率は

  

よって、ABが隣り合わない確率は

  

(解答終了)

(※)
次の5つの□のうちに1個を選び、まず、Eをおく。

□□□□□

これには通りの選び方がある。

つぎに、4個の内の2つを選び、BAの順序に置く。この選び方は

  

残りの2個から2個選び、DCの順序でおく。この選び方は

  

したがって、ABの右に、CDの右にある並び方は

  

通り。

もっと大胆に考えるならば、ABを同じ種類、CDを同じ種類と考え、ABCDを区別しなければよい。区別するから、右・左の順序が生じる。

このように考えると、同じ種類のものを含む順列の公式より

  

であることが分かる。

 


問題3 1つのさいころを4回投げ、1回目に出た目の数をa、2回目に出た目の数をb、3回目に出た目の数をc、4回目に出た目の数をdとする。

(1) a+b+c+dが偶数になる確率を求めよ。

(2) abcdが偶数になる確率を求めよ。

【解】

(1) a+b+c+dが偶数になるのは、4回さいころを投げたうち、「偶数の目が4回出る」場合と「偶数の目が2回、奇数の目が2回出る」場合と、「偶数の目が0回出る」場合。

偶数の目が出る確率p

  

「偶数の目が4回出る」確率は

  

「偶数の目が2回、奇数の目が2回出る」確率は

  

「偶数の目が0回出る」確率

  

したがって、求める確率は

  


(2) abcdが偶数になる事象の余事象は、「abcd」がすべて奇数である事象。

4回奇数が出る確率は

  

よって、abcdが偶数である確率は

  

(解答終了)

「偶数の目が0回出る」確率

  

と書いたけれど、この事象は奇数の目が4回続けて出る事象のことだから、奇数の目が4回続けて出る

と等しい。



タグ:確率
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