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第4回 広義積分の収束判定法2 [ネコ騙し数学]

第4回 広義積分の収束判定法2


定理4 区間(a,b]f(x)は連続で、

(1) 0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は(絶対)収束する。

(2) 0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は収束する。

【証明】

(1) 仮定によってaの近傍a<x<a+δδ>0)で

  

となる正数Mが存在する。

したがって、

  

0<λ<1だから、

  kougi-04-02.png

と収束し、定理2、定理3により広義積分は収束する。


(2)は略。

(証明終了)


定理5 区間[a,∞)においてf(x)は連続で、λ>1であるλに関してが有界ならば広義積分は収束する。

【証明】

仮定より、十分大きなxに関して

  

となる正の定数Mが存在する。

よって、

  

t>aとすると
  kougi-04-03.png

λ>1のとき

  kougi-04-04.png

と収束するので、広義積分は収束する。

(証明終了)

 


問題 次の問いに答えよ。

(1) 0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

(2) 0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

【解】

とする。


(1) 0<x≦1において

  

よって、定理4より広義積分は収束する。


(2) x≧1

  

また、x≧1は有界だからも有界。

したがって、定理5より広義積分は収束する。

(解答終了)

以上のことから、0<s<1のとき

  

は収束する。


無理やり定理4、定理5を使っている(^^


(1)は、次のように解くのがいいのでしょう。

【(1)の別解】

とおくと

0<s<1のとき、x>0f(x)は単調減少。

したがって、0<x≦1のとき

  

また、0<s<1より−1<s-1<0だから広義積分は収束する。

よって、広義積分は収束する。

(別解終了)

ここからは、s>0についての一般論。


s=1のときだから

  kougi-04-05.png

s>1のとき、f(x)は閉区間[0,1]で連続だからは通常の積分でこの値は存在する。


したがって、の収束を議論すればよい。

をマクローリン展開すると

  kougi-04-06.png

したがって、x≧0では

  

というこで、t>1とすると、s<nとなる正の整数nをとると、
  

n−s>0だから

  kougi-04-08.png

したがって、広義積分は収束する。


以上のことから、s>0のとき

は収束する。

そして、これをガンマ関数という。


すこし議論が錯綜しておりますが(^^


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