第６回 ガンマ関数入門

第６回　ガンマ関数入門

s>0に対して

　　

は収束し、（１）式で定義される関数Γ(s)をガンマ関数という。

ガンマ関数の性質を調べることにする。

まず、s=1のときのガンマ関数の値を求めることにする。

　　

また、

　　

を部分積分すると、

　　

したがって、s>0のとき

　　

である。

特に、sが自然数nであるとき、（２）式から

　　

このことから、ガンマ関数は階乗を拡張したものと考えることができる。

もし

　　

と微分と積分の順序の交換が許されるのであれば（証明はしないが、事実、許される）、

　　

だから、

　　

となり、同様にn次導関数は

　　

である。

特にn=2のとき、

　　

となり、ガンマ関数Γ(s)は（下に）凸である。

さらに、（１）の変数をx=t²と変換すると、

　　

よって
　　

s=1/2のとき

　　

である。

（２）式より

　　

したがって、

　　

そして、ここで

　　

と定義すると、

　　

となる。

２重階乗を使わず（４）式を書き換えると、

　　

実関数としてのガンマ関数Γ(s)は、s>0で定義されるが、（２）式を

　　

と書き換え、s=−1/2を代入すると、

　　

と、ガンマ関数をs<0に拡張が可能である。

参考までに、s<0まで解析接続によって拡張されたガンマ関数Γ(s)とその逆数1/Γ(s)のグラフを以下に示す。

なお、下のグラフでは横軸にxをとっている。

　

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