この広義積分の値を求められますか？ ガンマ関数、ベータ関数の序論にかえて

次の広義積分の値を求めるのは一見簡単そうですが、この値を求められますか？

問題　次の広義積分の値を求めよ。

　　

【解】

x=sin²θとおき、x=0のときθ=0、x=1のときθ=π/2とすると、

　　

そして、

　　

となるから、

　　

（解答終了）

これは、広義積分だから、実際はもう少し真面目に計算しないといけないけれど、まぁ、こうなる。

　――うるさいことを言うやつの口封じをするために、x→0+0のときθ=0+0、x→1−0ときθ=π/2−0――

x=sin²θという変数変換を思いつけば簡単に解けるけれど、しかし、この変換を自力で思いつける奴はそうそういないだろう。

ベータ関数やガンマ関数を知っている人は、

　　

と、この広義積分の値を求めるかもしれない。

そして、x=sin²θという変換は、このベータ関数の中で出てくるものだ（ベータ関数の三角関数表示）。

これまで長々と広義積分の話をしてきたのは、このガンマ関数Γ(s)とベータ関数B(p,q)という新しい関数導入の下準備。

今日から、こういった話になるので、少し面白くなると思うにゃ。

そして、取ってつけたようなラプラス変換の話までする予定です。

なお、
上の広義積分は次のように値を求めることもできる。
　　

だから、

　　

上の計算では

　　

という積分の公式を使っている。

こちらも、広義積分なので、もう少し細かい議論が必要になるが・・・

やるからには、ちゃんとやるケロ！！

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