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ねむねこ幻想郷の皆さんにお尋ねしますが、 f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数か? [ネコ騙し数学]

ねむねこ幻想郷の皆さんにお尋ねしますが、
f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数でしょうか?


例えば、

  

ならば、

  

となる。

これはf(−x)=f(x)が成立するから、f(x)は偶関数。


また、

  

のとき、

  

だから、このときもf(−x)=f(x)が成立する。

次の命題は正しそうな臭いがいがプンプンする。


命題

f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数である

 


さて、この命題は正しいか。


正しければ証明を、正しくなければ反例をあげよ。


ちなみに奇関数とは

  

が成立する関数。

偶関数は

  

奇関数の代表的な例としてf(x)=x、偶関数の代表例はf(x)=x²がある。


タグ:微分積分
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