第８回 ベータ関数入門２ ベータ関数の重要な性質

第８回　ベータ関数入門２　ベータ関数の重要な性質

まず、ベータ関数の定義を与える。

定義

p>0、q>0に対して

　　

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、ベータ関数には次の重要な性質がある。

定理　ベータ関数B(p,q)は次の性質を満たす。

（１）　任意のp>0、q>0に対して

　　

（２）　任意のp>0、q>0に対して
　　

（３）　自然数m、nに対して

　　

【証明】

（１）　t=1−xとおくと、x=0はt=1、x=1はt=0に対応し、

　　

だから、（１）を置換積分すると、

　　

（２）　1=x+(1−x)だから

　　

である。

したがって、

　　

0<s<t<1とおき、次の積分を部分積分すると

　　

また

　　

だから、
　　

したがって、

　　　　

（３）　（２）より

　　

また、

　　

だから、

　　

（証明終了）

nを自然数とするとき、ガンマ関数には次の性質がある。

　　

上の定理の（３）にこの関係を適用すると、

　　

この関係が自然数m、nだけでなく、正の実数p、qに対して

　　

が成立するかどうかだ。

 

定理　p>0、q>0に対して

　　

である。

【証明】

　　

したがって、
　　

ここで、x=rcosθ、y=rsinθとおき極座標変換をすると、

　　

となり、積分領域が

　　

と変わるので、
　　

【証明終了】

上記の定理中の

　　

というベータ関数とガンマ関数の関係式は、定積分の計算に活用できる非常に便利で強力な公式である。

たとえば、

　　

という定積分はベータ関数のp=4、q=5の場合だから、
　　

と、積分の計算をすることなく、簡単な階乗の計算で定積分の値を求めることができる。

のみならず、ベータ関数を用いることにより

　　

であることを簡単に証明できる。

m=1、n=1のとき

　　

この公式は、大学入試の重要公式である。

ベータ関数

　　

に対して

　　

として置換積分を適用すると、

　　

0<a<1とし、p=a、q=1−aとおくと
　　

複素解析から右辺の広義積分は

　　

したがって、

　　

a=1/2を（４）に代入すると
　　

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