第１２回 ラプラス変換入門１

第１２回　ラプラス変換入門１

ラプラス変換の定義

f(t)は[0,∞)で不定積分を持つとする。

広義積分

　　

が存在する実数sに対して

　　

とおくとき、このF(s)をラプラス変換といい、記号でであらわす。

また、であるとき、F(s)からf(x)への対応をラプラス逆変換といい、

　　

であらわす。

このとき、f(t)を原関数、F(s)を像関数という。

問１　次の関数をラプラス変換せよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

したがって、
　　

（３）

　　

（解答終了）

上記の記号

　　

のことで、例えば、（１）の場合、

　　

である。

問２　次の等式が成り立つことを示せ。

　　

【解】

st=xとおくと、t=0のときx=0、t→∞のときx∞、そして、dt=dx/sだから、

　　

また、α=nのとき、

　　

だから、

　　

（解答終了）

代表的な関数のラプラス変換は、ラプラス変換表という表になっており、実際は計算する必要がなく、ラプラス変換表を見ればよい。

代表的な関数のラプラス変換を以下に示す。

 

 

定理（ラプラス変換の線形性）

[0,∞)で連続な関数f(x)、g(x)がs>αでラプラス変換可能であるとする。このとき、a、bを実数とすれば、s>αに対して

　　

である。

【証明】

　　

（証明終了）

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