第１６回 第１５回の問題の別解

第１６回　第１５回の問題の別解

第１５回の解答とは違う解答を紹介することにする。

問題１

　　

を示し、この値を求めよ。

【解】

t=π/2−xとおくと、x=0のときt=π/2、x=π/2のときt=0、また、dx=−dtだから
　　

よって

　　

である。
　　
ここで、

　　

とおくと、n≧2に対して

　　

I₀とI₁を求めると

　　

したがって、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

である。

（解答終了）

 

問題２　次の等式が成立することを証明せよ。

　　

【証明】

ベータ関数の三角関数表示は

　　

p=qとすると
　　

2θ=tとおくと、θ=0のときt=0、θ=π/2のときt=π、またdt=2dθだから

　　

ここで、

　　

と分解し、右辺第２項の積分に対して、s=π−tとして、置換積分を施す。

このとき、t=π/2のときs=π/2、t=πのときs=0、またdt=−dsだから

　　

したがって、

　　

よって、①は

　　

ここで

　　

と変形すると、

　　

となる。

したがって

　　

よって
　　

（証明終）

ベータ関数とガンマ関数には

　　

という関係がある。

また、

　　

の証明は、sintがt=π/2に対して対称だからでもOK！！
（右図参照）

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