SSブログ

第2回 三角形の合同条件 [ネコ騙し数学]

第2回 三角形の合同条件


小中学校で、次の3つの三角形の合同条件を習ったと思う。

今回は、前回、導入した公理に基づいた証明を紹介する。

定理6 三角形の合同条件

(1) 2辺と挟角相等

(2) 1辺と両端の角相等

(3) 3辺相等

【証明】

02-fig-00.png(1) △ABCと△A’B’C’において、AB=A’B’AC=A’C’、∠A=∠A’とする。

A'B'C'を移動させ、AA’が一致するように、半直線ABA'B’を重ねる。

AB=A'B'だから、BB'は重なる。

また、∠A=∠A’だから、半直線ACA’C’も重なり、AC=A'C'だから、CC’は重なる。

2点BB')とCC')を通る直線は1本なので、BCB'C'は重なる。

よって、

△ABC≡△A’B'C'

02-fig-03.png(2) △ABC、△A’B’C’において、BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’とする。

BC=B’C’であるから、△A’B’C’を移動してB’BC’Cに重ねると、辺B’C’と辺BCに重なる。

B=∠B’、∠C=∠C’であるから、B’A’BAが重なり、C’A’CAに重なる。

2直線の共有点は1だけだから、A’Aは重なる。

よって、△ABC≡△A’B’C’である。

(証明終わり)

(3)のの証明のために次の定理を証明する。


定理7 二等辺三角形の底角は等しい。

02-fig-01.png【証明】

ABCを裏返して、ABCA’B’C’になったとする。

図形を裏返しにしても形や大きさは変わらないから△ABCと△A’C’B’において

AB=AC=AC’

AC=AB=A’B’

BAC=∠C’A’B’

よって、△ABC≡△A’C’B’ (二辺挟角相等)

∴ ∠ABC=∠A’C’B’=∠ACB

(証明終わり)

そして、この定理7を用いて、定理6の(3)を証明することにする。


02-fig-02.png定理6の(3)の証明

BC=B'C'だから、△A'B'C'を移動してB’BC'Cとを重ねると、辺B'C'と辺BCは重なる。

そこで、A'が直線BCに関してAと反対側にくる点をDとする。

BDABD=BAの二等辺三角形なので、∠BDA=∠BAD

また、△CADCA=CDの二等辺三角形なので、∠CAD=∠CDA

よって、∠BAD=∠BDA

定理6の(1)の2辺挟角相等より、△ABC≡△DBC

∴ △ABC≡△A'B'C'

(証明終)


02-fig-04.png問題 「ABA'B'AC=AC'、∠ABC=∠A'B'C'ならば△ABC≡△A'B'C'である」は正しいか。

【解】

反例として、次の三角形を上げれば十分でしょう。

つまり、正しくない。

(解答終)
タグ:初等幾何
nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 

nice! 0

コメント 0

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0

この広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。