こんな解法を思いつくものか！！

こんな解法を思いつくものか！！

問題　AB=2ACかつBC=30（ｃｍ）である。△ABCの面積の最大値を求めよ。

【解】

AB：AC=2:1であるから、∠Aとその外角の２等分線が辺BCまたはその延長と交わる点をそれぞれD、Eとする。

　DE：DC＝EB：EC＝２：１

またBC=３０（ｃｍ）より、

　ED=２０（ｃｍ）

　BE＝６０（ｃｍ）

∴　DE=40（ｃｍ）

∠DAE＝∠Rであるから、Aは直径DEの円周上にあり、BCに垂直なこの半径をA₁とすれば、AがA₁にあるとき、△ABCの面積は最大で、最大値は３００（ｃｍ²）である。

（解答終）

何とも鮮やかな解答。

日常的に初等幾何学に接している人、あるいは、初等幾何を得意とする人ならばこうした解答を思ういつく人もいるのかもしれないけれど、
しかし、
こんな解法をそうそう思いつくものか！！

ということで、別な方法で解いてみる。

【別解】

AC=xとすると、問題の条件AB=2ACよりAB=2x。

三角不等式より

　　

面積をS、∠BAC＝θとおくと、

　　

余弦定理より

　　

S>0だから、Sが最大⇔S²が最大となるので、

　　

したがって、S²はx²=500、つまり、x=√500（10<√500<30）のとき、最大となり、最大値は９００００。

よって、Sはx=√500のとき最大で、最大値は３００である。

（別解終了）

　　

となるので、これを微分して極値を求めてもいいけれど、これは少し計算が面倒なので、直接Sの最大値を求めよりはS²の最大値を求めたほうが計算はずっと楽でしょう。

ちなみに、Sのグラフは右の図になる。

タグ：初等幾何