第１０回 微積分の基本定理２

第１０回　微積分の基本定理２

 

定理１６

fが区間Iで連続、φが区間Jで微分可能であってφ(x)∈I（x∈J）ならば、

a∈Iと任意のx∈Iに対して

　　

である。

【証明】

　　

とおくと、

　　

また、

　　

（証明終）

 

（１）と（２）より、

fが区間Iで連続、φとψが区間Jで微分可能であってφ(x)、ψ(x)∈I（x∈J）ならば、

 

問題１　R上の連続関数f(x)に対して次の導関数を求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

問題２　f(x)は実数Rで連続であって、任意のh∈R、任意のx∈Rに対して

　　

ならば、f(x)は定数関数である。

【解】

xを固定して、

をhの関数と考えてhで微分すると、

　　

任意のhについてf(x+h)=f(x)が成立するので、f(x)は定数関数である（※）。

（解答終）

 

（※）　任意のxとhについて

　　

が成立するので、

　　

となるので、f(x)は定数関数である。

 

 

問題３　f(x)をI=(0,∞)で連続とする。

　　

が任意のx∈I、任意のy∈Iに対して

　　

を満たせば

　　

である。

【解】

xを固定しF(xy)をyの関数と考えて、の両辺をyで微分すると

　　

y=1とすると、

　　

である。

（解答終）

 

 

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