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第11回 積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理 [ネコ騙し数学]

第11回 積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理

 

積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理を紹介する前に、(定)積分の平均値の定理を再掲。

 

定積分の平均値の定理

f(x)[a,b]で連続ならば、

  

が存在する。

 

定積分の第1平均値の定理

f(x)が閉区間[a,b]で連続、g(x)[a,b]で非負連続ならば、

  

であるξが存在する。

【証明】

g(x)=0(定数関数)のとき、

  

だから、a<ξ<bである任意のξに対して

  

が成立する。

次に、

  

とする。

f(x)は有界閉区間[a,b]で連続だから最大値Mと最小値mが存在し、

  

m<Mのとき

  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

m=Mのとき、つまり、g(x)が非負で恒等的に0ない定数関数のとき、積分の平均値の定理より

  

となるξが存在する。

よって、

  

となるξが存在する。

(証明終)

 

 

積分の第2平均値の定理

f(x)を有界閉区間[a,b]で単調かつ級、g(x)[a,b]で連続とする。このとき、

  

であるξが存在する。

【証明】

  

とおき、 に部分積分を適用すると

  

f(x)[a,b]においてで単調だから、f'(x)≧0またはf'(x)≦0

よって、積分の第1定理より

  

となるξが存在する。

したがって、

  

(証明終)

  


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