第２０回 数列の極限とその定理

第２０回　数列の極限とその定理

 

数列

自然数全体の集合をNで表す。すなわち、N={1, 2, 3, ・・・, n, ・・・}。

自然数Nから実数Rへの写像を実数列、または、数列といい、記号あるいは単にで表す。これは実数をと並べたものである。

 

数列の収束

数列が次の条件を満たすときα∈Rが存在するとき、はαに収束するという。

任意のε>0に対して、あるmが存在して、

である。

このとき、αを数列の極限値といい、あるいはと表す。

 

定理１　（数列の極限の一意性）

収束するの極限値は１つである。

【証明】

だから、任意のε>0に対して、ある正の整数m₁があって

　　

また、

　　

とすると、ある正の整数m₂があって

　　

よって、m=max{m₁,m₂}とすると、任意のε>0に対して

　　

となり、｜α–β｜=0となり、α=β。

よって、の極限値は１つである。

（証明終）

 

 

定理２　（収束数列の有界性）

収束する数列は有界である。

【証明】

とする。

ある１つの値にε>0をとると、ある正の整数mがあって、n>mならば

　　

である。

そこで、

　　

の最大値をMとすると、

　　

よって、収束する数列は有界である。

（証明終）

 

 

定理３　（数列の極限の大小）

数列は収束し、

　　

であるならば、

　

である。

【証明】

とし、α>βと仮定する。

任意のとおくと、より、ある正の整数m₁があって

　　

より、ある正の整数m₂があって

　　

よって、m=max{m₁,m₂}にとると、n>mならば

　　

となり、に矛盾。

ゆえに、α≦βである。

（証明終）

 

 

定理４　（数列の極限の公式）

、λ、μを実数の定数とする。このとき、次が成り立つ。

　　

定理５　（ハサミ打ちの定理）

すべての正の整数nについてで、かつ、ならば、

　　

である。

【証明】

より、任意のε>0に対して、ある正の整数m₁があって、n>m₁ならば

　　

より、任意のε>0に対して、ある正の整数m₂があって、n>m₂ならば

　　

また、だから、m=mas{m₁,m₂}にとると、

　　

よって、である。

（証明終了）

 

 

定理６　（有界な単調数列の収束性）

が単調増加数列かつ上に有界（単調減少数列かつ下に有界）ならばは収束する。

【証明】

上に有界な単調増加数列の場合について証明する。

は上に有界だから、上限αをもつ（実数の連続性）。

したがって、

　　

で、かつ、任意のε>0に対して

　　

であるmが存在する。

したがって、n>mならば

　　

よって、

上に有界な単調増加数列は収束し、極限値はαである。

下に有界な単調減少数列の場合も同様。

（証明終）

 

 

定理７

とする。ならば、は収束し、である。

【証明】

条件より、は上に有界な単調増加数列、は下に有界な単調減少数列。よって、定理６より、は収束する。

　　

とおくと、定理３よりα≦β。

よって

　　

したがって、

　　

で、より、β–α =0となり、α=βである。

【証明終了】

 

 

定理８　（区間縮小法）

閉区間の列において

　　

ならば、すべての閉区間に含まれる１点αが存在し、

　　

である。

 

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