第４回 極限の計算例

第４回　極限の計算例

 

問題１　次の極限を求めよ。

【解】

とすると、｜x｜≦r、｜y｜≦r。したがって、r→0+0のとき、｜x｜→0、｜y｜→0になる。

（１）　(x,y)≠(0,0)とする。

　　

よって、

　　

 

（２）　x=t、y=mtとおき、t→0として、(x,y)を(0,0)に近づける。

このとき、極限値は

　　

mの値によって、つまり、(x,y)の(0,0)への近づき方によって極限値が変化するので、この極限値は存在しない。

 

（３）

　　

（解答終了）

 

x=rcosθ、y=rsinθと極座標に変換して、r→0+0の極限を求める方法もある。このとき、極限値がθにかかわらず一定の値に収束すれば、その値が極限値である。

 

【別解】

（１）

　　

とおき、x=rcosθ、y=rsinθを代入すると、

　　

 

（２）

　　

とする。

　　

この極限はθの値によって変わるので、極限

　　

は存在しない。

（解答終了）

 

 

問題２　次の極限を求めよ。

【解】

（１）　x軸に沿って(0,0)に近づく、要するにy=0として、x→0とすると、

　　

y軸に沿って(0,0)に近づける、要するにx=0として、y→0とすると、

　　

この２つの極限が一致しないので、は存在しない。

（別解）

直線y=mxにそって(0,0)に近づけると

　　

mの値によって極限値が変わるので、は存在しない。

 

（２）　x軸にそって(0,0)に近づけると、

　　

y軸にそって(0,0)に近づけると

　　

よって、極限は存在しない。

 

（３）　とおくと、

　　

（別解）

　　

（解答終了）

 

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