第５回 ２変数関数の連続

第５回　２変数関数の連続

 

２変数関数の一点での連続の定義

関数f(x,y)はR²の部分集合Dで定義されており、(a,b)∈Dとする。

(a,b)がDの内点で

　　

であるとき、f(x,y)は点(a,b)で連続という。

すなわち、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在し、

　　

点(a,b)がDの境界点の場合、Dの内部から(a,b)に近づいたとき、

　　

を満たすとき、f(x,y)は点(a,b)で連続という。

 

証明は１変数の場合と証明は同様なので、定理だけを紹介する。

 

定理４

関数f(x,y)、g(x,y)が点(a,b)で連続で、λ、μが実数の定数とすると、

　　

も連続である。

 

さらに、合成関数の連続についての定理を紹介する。

 

定理５

u=g(x,y)が点(a,b)で連続、z=f(u)がu=g(a,b)で連続ならば、合成関数z=f(g(x,y))は点(a,b)で連続である。

【略証】

z=f(u)はu=g(a,b)で連続だから、任意のε>0に対して、あるδ₁>0があって、

　　

u=g(x,y)は点(a,b)で連続だから任意のε'>0に対して、あるδ>0があって、

　　

そこで、ε'=δ₁にとり、それに合せてδ>0を定めると、

　　

（略証終）

 

 

定理６

u=φ(t)、v=ψ(t)が点t=aで連続、z=f(x,y)が点(φ(a),ψ(a))で連続ならば、合成関数z=f(φ(t),ψ(t))は点t=aで連続である。

【略証】

z=f(x,y)は点(φ(a),ψ(a))で連続だから、任意のε>0に対して、あるδ'>0があって

　　

である。

また、u=φ(t)、v=ψ(t)が点t=aで連続だから、ε'=δ'>0に対して、あるδ₁>0、δ₂>0があって

　　

δ=min{δ₁,δ₂}にとると、

　　

（略証終）

 

 

問　次の関数は(0,0)で連続か。

　　

【解】

　　とおくと、

　　

よって、f(x,y)は点(0,0)で連続。

（解答終）

 

定義　２変数関数の連続性

関数f(x,y)はR²の部分集合Dで定義されていて、任意の点(a,b)∈Dでf(x,y)が連続であるとき、f(x,y)はD上で連続であるという。

 

定理７

関数f(x,y)、g(x,y)がD⊂R²で連続で、λ、μが実数の定数とすると、

　　

も連続である。

 

 

問２　次の関数の連続性を調べよ。

 　　

【解】

（１）、（２）、（３）とも(x,y)≠(0,0)では連続。したがって、(x,y)=(0,0)で連続か否かを調べればよい。

とおくと、｜x｜≦r、｜y｜≦r。

(x,y)≠(0,0)とする。

（１）

　　

よって、(0,0)でf(x,y)は連続。

したがって、f(x,y)はR²で連続である。

 

（２）　x=2t、y=tとおき、t→0として、(0,0)に近づけると

　　

となり、(0,0)でf(x,y)は連続でない。

よって、f(x,y)は原点以外で連続である。

 

（３）

　　

よって、f(x,y)は(0,0)で連続。

したがって、f(x,y)はR²で連続。

（解答終）

 

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