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第9回 高階偏導関数 [ネコ騙し数学]

第9回 高階偏導関数

 

領域D上で定義された偏微分可能な関数f(x,y)の導関数Dで偏微分可能のとき、f(x,y)2回偏微分可能であるといい、f第2次偏導関数

  dai9-siki-001.png

と定義する。

 

(注)

  dai9-siki-000.png

と順序が違うことに注意が必要。

 

問1 次の第2次偏導関数を求めよ。

【解】

(1) z=f(x,y)=x³+xy²+y⁴とおくと、だから、

  

(2) z=f(x,y)=sin(xy)とおくと、だから、

  dai9-siki-002.png

(解答終了)

 

領域D上で定義された関数f(x,y)が第n次導関数を持ち、それらがDで連続であるとき、fn回連続微分可能または級であるという。任意のn∈Nに対して級である関数を無限回連続微分可能または級という。


 

定理

関数f(x,y)級ならば、が成り立つ。

【証明】

  dai9-siki-003.png

とおき、平均値の定理を用いると

  

同様に、

  

従って、

  dai9-siki-006.png

f級だから2次偏導関数は連続で、(h,k)→(0,0)のとき、

  

になる。

(証明終了)

 

問1の(1)、(2)ともにになっているのは偶然ではなく、f(x,y)級だからである。また、級ならば、が成立するので、片方だけを計算すればよい。

 

 

問題1 2回偏微分可能な関数f(x,y)

  

を対応させる写像を

  

であらわし、ラプラス微分作用素またはラプラシアンという。Δf=0ラプラスの微分方程式、その解を調和関数という。

次の関数z=f(x,y)が調和関数であるかどうか調べよ。

【解】

(1) より

  dai9-siki-007.png

よって、調和関数である。

 

(2) より

  dai9-siki-008.png

だから、調和関数ではない。

 

(3) より

  dai9-siki-009.png

よって、調和関数である。

(解答終了)

 

 

問題2 f(x,y)の開区間(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。次のことを証明せよ。

(1) fxで偏微分可能でならば、fyだけの関数である。

(2) ならば、fは定数である。

(3) かつが連続ならば、fxだけの関数とyだけの関数の和である。

【証明】

(1) yを固定すると、xだけの関数g(x)=f(x,y)(a,b)上でだから定数である。この定数をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)である。

 

(2) だから(1)よりf(x,y)=φ(y)

よって、

  

したがって、φ(y)は定数である。

 

(3) だから、xだけの関数h(x)に等しい。

x₀∈(a,b)の定点とする。

xについて連続だから

  dai9-siki-010.png

ここで、

  dai9-siki-011.png

とおけば、

  

(証明終了)

 

(注)

(a,b)×(c,d)は開区間(a,b)と開区間(c,d)の直積のことで

  

である。

また、は、Dのすべての点(x,y)の意味で、「fが定数」とはDのすべての点(x,y)f(x,y)=定数、つまり、関数fが定数関数であることを表す。

 

「関数f(x,y)=定数」ではなく、「関数f=定数」と書く方が正式!!

 


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