レムニスケート

レムニスケート

 

問題１　２定点（−a,0）、(a,0)からの距離の積がa²である点Pの軌跡を求めよ。ただし、(a>0)とする。

【解】

２定点をA（−a,0）、B(a,0)とし、点Pの座標を(x,y)とすると、

　　

また、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問題で求めた点Pの軌跡（曲線）

　　

をレムニスケート（lemniscate）という。

x=rcosθ、y=rsinθとおき、（１）を極座標を用いて書き直すと、レムニスケートは

　　

になる。

さらに、（２）を用いると、レムニスケートによって囲まれる領域の面積Sを

　　

と求めることができる。

 

 

問題２

関係式(x²+y²)²=2a²(x²–y²)（a>0）で定まるxの陰関数yの極値を求めよ。

【解】

(x²+y²)²=2a²(x²–y²)の両辺をxで微分すると、

　　

極値を取る点ではy'=0だから

　　

x=0では極値を取らないから、x²+y²=a²でなければならない。

そこで、(x²+y²)²=2a²(x²–y²)にy²=a²–x²を代入すると、

 　　

（解答終（？））

 

上の計算からわかるように、極値を取る点はレムニスケート(x²+y²)²=2a²(x²–y²)と原点を中心とする半径aの円x²+y²=a²の交点である。

原点(0,0)における接線はy=x、y=−xの２本で、原点は結節点である。

 

うるさいことを言えばで極値になることを示すために、における２次微分係数y''の値を調べる必要があるけれど、計算が複雑になるので、この吟味は省略した。

ただ、微分積分を使わずに、極座標を用いて次のように解くこともできるだろう。

 

【別解】

　　

三角関数の倍角公式より

　　

これを（３）式に代入すると

　　

0≦2θ<π/2=90°とすると、θ=π/6=30°のときに、yは最大値a/2をとる。

このとき、

　　

だから、

　　

この曲線はx軸、y軸、原点に関して対称だから、極値は

　　

（別解終（？））

 

 

問題３

（１）　曲線x²–y²=a²（a>0)の(x₀,y₀)における接線を求めよ。

（２）　（１）で求めた接線に原点Oから下ろした垂線の足の軌跡を求めよ。

【解】

（１）　x²–y²=a²の両辺をxで微分すると、

　　

よって、曲線上の点を(x₀,y₀)とするとき、y₀≠0のとき、接線の方程式は

　　

接線の方程式は、y=0、x=−aのときx=−a、y=0、x=aのときx=aとなるが、この場合も⑨式で表せるので、

　　

 

（２）　曲線上の点(x₀,y₀)における曲線の接線の方程式は、x₀x–y₀y=a²だから、原点Oを通りこの接線に垂直な直線の方程式は、

　　

したがって、垂線の足の座標は連立方程式

　　

の解で

　　

よって、

　　

曲線x²–y²=a²上の点(x₀,y₀)をx₀=ρcosθ、y₀=ρsinθとすると、

　　

これを⑨³に代入すると、

　　

となり、軌跡はを焦点とするレムニスケートである。

（解答終）

 

この他にも、レムニスケートは楕円関数などとも深い関係があるけれど、これは「ねこ騙し数学」の現在のレベルを越えてしまうので、この点については触れないことにする。

 

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