第１０回 合成関数の微分法１

第１０回　合成関数の微分法１

 

定理１１

関数f(u)が区間Iで微分可能、関数g(x,y)が領域Dで偏微分可能かつ

　　

ならば、合成関数F(x,y)=f(g(x,y))はDで偏微分可能で

　　

である。

【証明】

変数yを固定すると、g(x,y)はxのだけの一変数関数φ(x)と考えることができる。

１変数関数の合成関数の微分法より

　　

ところで、

　　

よって、

　　

yに関する偏微分の場合も同様。

（証明終了）

 

上の定理は、u=g(x,y)、z=f(u)とし、この合成関数z=f(g(x,y))の偏微分を

　　

としたほうが、計算するときにも間違えることはないだろう。

 

 

問１　次の関数の偏導関数を求めよ。

【解】

u=x²+y²とおくと、（１）、（２）、（３）の関数は

　　

と書き換えられる。

z = f(u)とおき、uで微分すると

　　
u=x²+y²の偏導関数はだから、

　　

（解答終了）

 

問２　次の関係式が成り立つことを示せ。

（１）　z=f(ax+by)のとき、

（２）　z=f(xy)のとき

（３）　z=f(x²–y²)のとき

（４）　のとき

【解】

（１）　u=ax+byとおくと、z=f(ax+by)=f(u)。

また、。

よって、

　　

 

（２）　u=xyとおくと、z=f(xy)=f(u)。

また、。

　　

 

（３）　u=x²–y²とおくと、z=f(x²–y²)=f(u)。

また、だから、

　　

 

（４）　u=y/xとおくと、z=f(y/x)=f(u)。

また、だから、

　　

（解答終）

 

問３　z=f(x–ct)+g(x+ct)（cは定数）のとき、

　　

であることを示せ。

【解】

u=x–ct 、v=x+ctとおくと、z=f(u)+g(v)。

また、だから、

　　

よって、

　　

である。

（解答終了）

 

は波動方程式と呼ばれるもので、z=f(x–ct)+g(x+ct)はその解である。

 

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