行列の固有値と固有ベクトル

行列の固有値と固有ベクトル

 

１次変換（行列）に対して

　　

を満たすλをAの固有値、を固有ベクトルという。

単位行列とすると、（１）式は

　　

と変形できるので、が存在するための必要十分条件は、行列A–λ Eが逆行列を持たないこと、すなわち、

　　

で、（２）式をAの固有方程式という。

２次方程式（２）の解をα、βとすると、解と係数の関係より、

　　

が成り立つ。

 

ここで、

　　

のことで、これは行列の行列式である。

 

問題１　次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

【解】

固有ベクトルを、固有値をkとする。

（１）

　　

x=y=0以外の解をもつためには、

　　

k=1のとき、①式より

　　

ここで、x=tとおくと、y=−t。

よって、固有ベクトルは

　　

 

k=2のとき①より

　　

y=sとおくと、x=−2s。

よって、固有ベクトルは

　　

 

（２）

　　

②式より

　　

よって、固有ベクトルは

　　

である。

（解答終）

 

 

問題２　次の問に答えよ。

（１）　行列の固有値と固有ベクトルを求めなさい。

（２）　となる行列Pを求めよ。

（３）　nが自然数のときを求めよ。

【解】

（１）　Aの固有値をk、固有ベクトルをとすると、

　　

以外の解をもつためには、

　　

k=2のとき、①式より

　　

k=5のとき、①式より

　　

 

（２）

　　

ここで、とおくと、

　　

したがって、α、βは行列Aの固有値で、はその固有ベクトル。

よって、α=2、β=5とすると、

　　

 

（３）　a=1,b=1とおく。

α=2のとき

　　

β=5のとき

　　

よって、

　　

後の計算はヨロシク！！

（解答終）

 

　　

が成立するので、これを利用して

　　

と計算してもよい。

 

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