２次曲線の極座標表示

２次曲線の極座標表示

 

§１　楕円

 

楕円の焦点をF(c,0)、F'(−c,0)とし、楕円上の動点をP、FP+F'P=2aとする。

FP=r、x軸とFPのなす角度をθとする。

△FF'Pに対して余弦定理を用いると

　　

a≠0だから、右辺の分母、分子をaで割ると、

　　

ここで、

　　

とおくと、楕円の極座標表示の方程式（※）は

　　

 

半直弦とは、θ=π/2のときのFP=rのこと。

このことは、θ=π/2のときcosθ=0になるので、（１）式より

　　

となることより明らかだろう。

 

また、楕円（a≧b）の場合、

　　

離心率εは

 　　

である。

a=bのときは円でε=1である。

 

（※）　この場合

　　

という対応関係にあることに注意！！

 

 

§２　双曲線

 

双曲線の焦点をF(c,0)、F'(−c,0)とし、右側の双曲線について考えることにする。

双曲線上の点をPとすると、双曲線の定義から

　　

FPとx軸のなす角度をθとし、△FF'Pについて余弦定理を用いると、

　　

FP=rとすると、
　　

　　

ここで、aで右辺の分子分母を割ると、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

 

c>aだから双曲線の離心率ε>1である。

 

 

§３　放物線

 

放物線の焦点F(p,0)（p>0)、準線をx=−p、さらに放物線上の点をPとし、準線x=−pにPからおろした垂線の足をHとする。

放物線の定義からHP=FP。

FP=r、線分FPとx軸のなす角度をθとすると、

　　

l=2p、ε=1とすれば、

　　

の形になるので、放物線の離心率ε=1。

 

ということで、２次曲線は

　0≦ε<1のとき楕円（ε=0のとき円）

　　ε=1のとき放物線

　　ε>1のとき双曲線

になるという話でした。

 

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