ベクトルの内積、外積

ベクトルの内積、外積

 

§１　ベクトルの内積（ベクトルのスカラー積）

 

ベクトルa、bの大きさをa、b、そのなす角をθとするとき

　　

をaとbの内積といい、記号a・bや(a,b)などであらわす。すなわち、

　　

である。

内積はスカラーで、bのaへの正射影を、aのbへの正射影をとすれば、

　　

である。

a、bがともに零ベクトルでないとき、（１）式より、内積はθが鋭角ならば正、直角ならば0、鈍角ならば負である。また、a、bのいずれかが零ベクトル0であるとき、内積は０である。

ベクトルの内積に関しては、交換、結合法則が成り立つ。すなわち、

　　

mをスカラーとすると、さらに、

　　

が成り立つ。

 

先に述べたように、ベクトルaとベクトルbのなす角θが直角のときa・b=0である。

逆にa・b=0のとき、

　（ⅰ）　aとbのなす角θが直角

　（ⅱ）　a=0またはb=0

である。

 

特に、基本ベクトルi、j、kに対しては

　　

である。

したがって、

ベクトルa、ベクトルbの成分を(a₁,a₂,a₃)、(b₁,b₂,b₃)とすれば、内積a・bは

　　

で、aとbのなす角の余弦は、（１）、（２）式より

　　

 

問１　a=2i–3j+5k、b =–2i–2j+2kが垂直であることを示せ。

【解】

　　

よって、垂直である。

（解答終）

 

問２　a=2i–3j+kとb=3i–j–2kのなす角を求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

問３　a=2i–3j+kのb=3j–4k上への正射影を求めよ。

【解】

aのb上への正射影は

　　

である。

よって、

　　

（解答終）

 

 

§２　ベクトルの外積（ベクトルのベクトル積）

 

平行でない２つのベクトルa、ｂを隣り合う２辺とする平行四辺形をもとに

（１）　大きさは、この平行四辺形の面積に等しい

（２）　向きは、この平行四辺形のある平面に垂直で、aからbへ右ネジをまわすときネジの進む方向と同じ

であるベクトルを作る。

このようにaとbから作ったベクトルをaとbの外積、または、ベクトル積といい、記号a×bであらわす。

aとbのなす角をθとすると、外積の大きさは

　　

である。

aとbが平行のとき、およびaまたはbが零ベクトルであるとき、

　　

と定義する。

a×b≠0のとき、a×bはb×aと大きさが等しく向きが反対だから

　　

すなわち、ベクトルの外積は交換法則が成立しない。

しかし、分配法則は成り立ち、

　　

さらに、

　　

 

i、j、kを基本ベクトルとすると、

　　

ベクトルaとベクトルbの成分をそれぞれ(a₁,a₂,a₃)、(b₁,b₂,b₃)とすると、外積は、分配法則が成り立つので、

　　

これを行列式で書くと

　　

である。