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空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル [ネコ騙し数学]

空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル

 

空間曲線は、スカラー変数tを用いて

  

であらわすことができる。

曲線上の任意の点P(x,y,z)とし、とおけば、rtの関数だから、

  

と書き、これを曲線ベクトル方程式という。

 

とすると、Δt≠0のとき

  

に平行である。

したがって、

  

は、曲線の接線ベクトルと平行であり、これを曲線の接線ベクトルという。

また、

  

単位接線ベクトルという。

単位接線ベクトルtは大きさが1で変わらないので、

  

したがって、tは直交する。そこで、を曲線r(t)法線ベクトルといい、

  

主法線ベクトルという。

また、曲線上の点における単位接線ベクトルtと単位主法線ベクトルnとの外積

  

ベクトルを(単位)従法線ベクトルという。

 

曲線r=r(t)は、r'(t)が連続で常にr'(t)≠0であるとき、滑らかな曲線という。滑らかな曲線r=r(t)a≦t≦bの部分の長さを弧長といい、弧長s

  

で与えられる。

 

 

問1 の単位接線ベクトルと、単位法線ベクトルを求めよ。また、t=π/4のときの接線の方程式を求めよ。

【解】

  vec-kukan-siki-002.png

よって、単位接線ベクトルt

  

また、

  vec-kukan-siki-003.png

よって、単位法線ベクトルn

  

である。

t=π/4の接線ベクトルは

  

よって、接線の方程式は

  

tを消去し

  

(解答終)

 

t=π/4のときの、接線の法線ベクトルn(-1/√2,1/√2)だから、接線の方程式を

  

と求めることもできる。

 

 

問2 曲線0≦t≦2πの曲線の長さを求めよ。

【解】

  vec-kukan-siki-004.png

(解答終)

 


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