So-net無料ブログ作成

ベクトルの微分の問題 [ネコ騙し数学]

ベクトルの微分の問題

 

問題1 曲線上を運動する質点Pの原点に対する位置ベクトルをr、曲線上の定点からPまでの曲線の長さをs、時間をtとすれば、接線ベクトルaの接線成分、法線成分

  

であることをしめせ。

ここで、 ρは曲率半径とする。

【解】

P点の速度ベクトルv

  

よって、

  

ここで、κは曲率で

  

したがって、

  

である。

(解答終)


 

補足

tは点Pにおける曲線の単位接線ベクトルだから

  

これを時間tで微分すると、

  

これからt、すなわち、が直交していることがわかる。


 

問題2 次の螺旋曲線の(単位)接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。

  

【解】

  

したがって、

  

よって、

  

単位接線ベクトルt

  

また、

  

ゆえに、曲率κ

  

よって、主法線ベクトルn

  

従法線ベクトルb

  

これから、

  v-p-siki-001.png

となり、捩率τ

  

(解答終)



nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 

nice! 0

コメント 0

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0