スカラー関数の勾配

スカラー関数の勾配

 

関数φ(x,y)がC¹級であればf(x,y)は全微分可能で

　　

あるいは、Δx、Δyをdx、dyに置き換え

　　

で表される。

このとき、ベクトルを関数φの勾配（gradient）といい、記号

　　

などであらわす。すなわち、

　　

である。

したがって、

　　

とすると、全微分dφは、ベクトルの内積を用いて

　　

とあらわすことができる。

 

φ(x,y)=c（一定）とすれば、φ(x,y)=cは１つの曲線をあらわす。この曲線上の点P(x₀,y₀)における全微分は

　　

であり、これは点Pにおける曲線φ(x,y)=cの接線の方程式である。

したがって、

　　　

とおけば、曲線φ(x,y)=cの点P(x₀,y₀)における接線の方程式は

　　

となり、これは∇φが曲線φ(x,y)=cと直交していることを表している。つまり、∇φは曲線φ(x,y)=cの法線ベクトルである。

 

この議論は、そのまま、２次元から３次元へ拡張することができ、C¹級の関数φ(x,y,z)に対して、φの勾配を

　　

を定義する。

そして、

　　

をハミルトン演算子といい、記号（微分演算子）∇をナブラと読む。

曲面φ(x,y,z)=cの点P(x₀,y₀,z₀)における接平面の方程式は

　　　　　　
であり、∇φは曲面φ(x,y,z)=cと直交する。そして、∇φはこの曲面の法線ベクトルである。

 

特に、z=f(x,y)のとき、φ=f(x,y)–z だから、

　　

曲面z=f(x,y)の点P(x₀,y₀,z₀)における接平面の方程式は、

　　　　

である。

 

問　z=x²+xy+2y²の点(1,1,4)における接平面の方程式を求めよ。

【解】

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なにか冗漫でスッキリしないな。次のように書くべきか。

 

曲面φ(x,y,z)=cがある。曲面上の点P(x,y,z)を通る曲面上の曲線x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)を考えると、φはtの関数である。そこで、tを微分すれば、

　　

である。とすると、

　　

で、これは曲面φ(x,y,z)=cの接線ベクトルである。

したがって、

　　

よって、∇φは曲面φ(x,y,z)=cと直交し、∇φはこの曲面の法線ベクトルである。

 

 

問題１　uがx,y,zの関数で、uの関数をf(u)とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

問題２　原点に対する位置ベクトルをrとし、r=｜r｜とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

（ⅰ）　だから、

　　

同様に、

　　

したがって、

　　

 

 

（ⅱ）

　　

同様に、

　　　

よって、

 

（別解）

f(r)=1/rとおけば、問題１より

　　

（解答終）

 

 

問題３　スカラー関数u(x,y,z)、v(x,y,z)の関数をF(u,v)とするとき、次の式を示せ。

　　

【解】

　　

（解答終）

 

タグ：微分 偏微分 ベクトル