第１６回 階数を下げる方法

第１６回　階数を下げる方法

 

例題１　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

y'=pとすると、この微分方程式は

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

問題１　次の微分方程式を解け。

　　

ただし、aは定数。

【答】

　　

 

 

例題２　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

p=y'とおくと、微分方程式は

　　

となる。

　　

となるので、①は

　　

両辺を２乗して、整理すると

　　

（解答終）

 

 

例題３　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

この微分方程式は、y'=pとおき、

　　

となるので、例題２と同様に

　　

とすると、

　　

（解答終）

 

例題３は、【解１】のように簡単に解けてしまうのだけれど、

　　

とおくと、

　　

が成立するので、F(y,y',y'')は（２次の）同次形であり、微分方程式

　　

は同次形の微分方程式である。

このことに注目して、次のように解くことも可能である。

 

【別解】

　　

とおくと、

　　

両辺をxで微分すると、

　　

したがって、①は

　　

y≠0のとき

　　

y=0は、C₂=0の場合なので、

　　

【解答終】

 

 

問題２　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

これは同次形の微分方程式。

そこで、

　　

とおくと、

　　

①に代入すると、

　　

y≠0のとき

　　

y=0は、C₂=0の場合なので、

　　

（解答終）

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