第１７回 積分因子

第１７回　積分因子

 

次の全微分方程式があるとする。

　　

この全微分方程式は、

　　

とおくと、

　　

だから完全形ではない。

しかし、（１）式の両辺にxyをかけると

　　

となり、P=x、Q=yとおくと、

　　

が成立し、完全形の微分方程式にすることができる。

ちなみに、（２）式の解は

　　

 

 

定義

完全形でない全微分方程式

　　

に適当な関数λ(x,y)≠0をかけて得られる

　　

が完全形であるとき、λ(x,y)をPdx+Qdy=0の積分因子または積分因数という。

 

先にあげた例だとxyは微分方程式（１）の積分因子である。

 

（３）式は完全形だから、

　　

でなければならない。

そして、（４）式を解くことによって積分因子を求めることができる。

 

しかし、一般に偏微分方程式（４）を解くことは難しい。そこで、特別な場合を考えることにする。

 

λがxだけの関数の場合、

　　

だから、（４）式は

　　

となり、がxだけの関数であれば、積分因子は

　　

と求まる。

同様に、がyだけの関数であれば、積分因子は

　　

として求まる。

 

問題１　次の全微分方程式の積分因子を見つけ、一般解を求めよ。

【解】

（１）　P=2xy、Q=y²–x² とすると、

　　

したがって、積分因子は

　　

微分方程式

　　

の両辺に1/y²を掛けると、

　　

 

（２）　P=x+y、Q=−xとおくと、

　　

したがって、積分因子は

　　

微分方程式

　　

の両辺に1/x²を掛けると

　　

（解答終）

 

 

問題２　線形微分方程式

　　

を変形して得られる

　　

の積分因子を求めよ。

【解】

　　

とおくと、

　　

したがって、積分因子は

　　

（解答終）