第２０回 連立常微分方程式の解法

第２０回　連立常微分方程式の解法

 

例題　次の連立微分方程式を解け。

【解】

①から未知関数zを消去するために①を微分すると、

　　

これに②のz'=y+xを代入すると、

　　

非同次方程式を解くために、③の右辺=0とした同次形方程式

　　

を解く。

上の同次形方程式の特性方程式は

　　

したがって、④の基本解はであり、④の一般解は

　　

また、④の特殊解は

　　

ここで

　　

したがって、③の一般解は

　　

また、①より

　　

よって、連立常微分方程式の解は

　　

（解答終）

 

上の解答では、③の特殊解を用いるのに演算子Dを用いたが、特殊解をAx+Bと予測し、これを③式に代入すると、y''=0だから、

　　

と特殊解を求めてもよい。

 

【別解】

①と②を足すと、

　　

ここで、u=y+zとおくと、

　　

両辺にをかけると、

　　

①と②の差をとると

　　

③と④をyとzについて解くと、

　　

（解答終）

 

微分や積分という演算を含むけれど、普通の連立方程式の代入法、加減法のように解くことができる。

 

 

問題　次の連立微分方程式を解け。

【解】

（１）　第１式を微分すると、

　　

第２式より

　　

この特性方程式

　　

したがって、この微分方程式の基本解は。

特殊解は

　　

よって、

　　

第１式より

　　

 

（２）　第１式を微分し、第２式を用いると、

　　

この微分方程式の特性方程式は

　　

よって、基本解は。

特殊解は

　　

よって、

　　

また、第１式より

　　

（解答終）

 

 

微分演算子を含む多項式は、Dを定数係数のように計算することができるので、これを用いて例題の微分方程式を次のように解くこともできる。

 

問題２　次の連立微分方程式を解け。

　　

【解】

D×①

　　

zを消去するために、上式に②を加えると、

　　

よって、この微分方程式の基本解はで、特殊解は

　　

したがって、

 　　

（以下略）

タグ：微分積分 微分方程式