［境界積分の積分公式（ラプラス型）］

［境界積分の積分公式（ラプラス型）］

　・・・という訳で、「岩波数学公式集」です(^^)。一つの境界要素k上でのラプラス型の境界積分は、次の形の積分計算が出来れば良いのでした。t＝c－sとして（cとsは図-2参照）、

　　

ここでn≧0は整数です。

　(1)に部分積分を使えば、

　　

になるので結局、式(2)のu_n+2(t)がわかればOKです。

 

　そこで突然ですが、形式的に次の等比数列の和、

　　

 

を考えます。

　pは何でも良いので、p＝－t²/h²とすれば、

　　

となり、順次変形して行けば、

　　

が得られます。

　両辺にtをかければ、

　　

です。

　n＝0，1，・・・だったので、

　　2(n＋1)　 ＝2，4，6，・・・

　　2(n＋1)＋1＝3，5，7，・・・

となり、(4)，(5)を式(2)に代入した姿を想像すれば、u₀(t)とu₁(t)さえ計算できればOKとわかります。

　　

なので、

　　

です。

 

　これらを式(3)に代入して、

　　

　　

を得ます。

 

　v₀(t)とv₁(t)については、式(3)，(8)，(9)から計算すれば、

　　

となります。

 

　ところで境界上の未知関数ψ^*(c)，q^*(c)を線形近似した場合、v₀(t)，v₁(t)とu₀(t)，u₁(t)があれば良いのでした(^^)。
これらは既に計算してあるので、後はこれらを、c＝0→L_kについて定積分化するだけです。

 

　t＝c－sでした。またhとsは、境界要素kの配置と特異点(ξ，η)の位置だけで決まり積分に対して定数なので、積極的理由のない限り出来るだけそのままの形で使用した方が便利です。そうすると図-2より、例えば、

　　

が得られます。ここにγ₁，γ₂は、図-2に示したc＝0とc＝L_kの時のr＝r₁，r₂の方向（角度）です。同様に、

　　

　　

が得られます。

（執筆　ddt³さん）

これは、ネムネコのひとりごとです。

　　

の積分は、次のように置換積分を使ったほうがよいでしょう。

　　

したがって、

　　

 また、

　　

タグ：境界要素法 数値解析