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第1回 テンソルとは [ネコ騙し数学]

第1回 テンソルとは

 

空間内の任意のベクトルxに対して値が定まり、その値がベクトルである関数T(x)があるとする。

関数Tが、任意のベクトルxy、任意の実数aに対して、つぎの線形条件

  

を満たすとき、T(2階の)テンソルという。

なお、上の線形条件(1)と次の条件(2)とは同値である。

任意の実数ab、任意のベクトルxyに関して

  

である。

 

今後、空間に設置した座標系O-xyzx軸、y軸、z軸をそれぞれx₁軸、x₂軸、x₃軸とあらわすことにし、その基本ベクトルをとする。

ベクトルの成分を

  

とすると、

  ten1-001.png

である。

このとき、

  ten1-002.png

をテンソルTの座標系O-x₁x₂x₃に関する成分といい、T(i,j)成分という。

 

は、

  

と表せるので、とすると、

  ten1-021.png

ゆえに、とすれば、

  ten1-020.png

すなわち、

  

である。

行列を用いてかけば、

  ten1-005.png

である。

 

また、テンソルTの成分をとすると、(4)式より

  

である。

 

問1 任意のベクトルxに対してであるテンソルの成分は単位行列

  ten1-006.png

である。これを単位テンソルといい、記号Iなどであらわす。

【解】

(4)とより

  

したがって、テンソルの成分は

  ten1-006.png

(解答終)

【別解】

より、

  

したがって、(9)より

  

よって、

  ten1-006.png

(解答終)

問2 任意のベクトルxに対してであるテンソルの成分は零行列

  ten1-007.png

である。これを零テンソルといい、記号0であらわす。

【略解】

より

よって、

  

(略解終)

 

 

問3 ベクトルが与えられたとき、任意のベクトルxに対してA×xを対応させる、すなわち、

  

となるテンソルTの成分を求めよ。

【解】

とすると、

  ten1-008.png

したがって、

  ten1-009.png

よって、テンソルの成分は

  ten1-010.png

である。

(解答終)

 


タグ:テンソル
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