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第14回 高次のテンソル [ネコ騙し数学]

第14回 高次のテンソル

 

これまで取り扱っていたテンソルは2次(2階)のテンソルであるが、ベクトルから2次のテンソルを得たようにより高次のテンソルを定義することができる。

 

たとえば、3つのベクトルをとし、

  

とおけば、直角座標の変換によって、

  ten14-001.png

すなわち、

  

となる。

 

を27個の数の組とする。

直角座標の変換

  

によって

  

に変換されるとき、この27個の数の組をテンソルといい、の各々をその成分という。

 

同様に、4次、5次のテンソルを定義することができる。

 

を3次のテンソルとするとき、

  

よって、

  

とおくと、

  

となるので、

  

は3次のテンソルである。これをテンソルという。

 

同様に、

  

をテンソルという。

 

また、αをスカラー、をテンソルとすれば、

  

はテンソルである。

そして、を3次のテンソル、を2次のテンソルとすれば、

  

は5次のテンソルである。これをテンソルという。

 

テンソルの同じ指標について、1から3まで加えることを縮約という。

 

縮約の例

  ten14-003.png

一般に、1つの文字について縮約すると、テンソルの次数は2次下がる。

 

問 をベクトル、を2次のテンソルとするとき、

  

は何次のテンソルか。

【解】

  

とすると、

  ten14-004.png

したがって、これはスカラー(直交座標の変換によって値が変わらないもの)だから、0次のテンソルである。

 

このように解くのが正式な解き方だけれど、こんなことをしていたら死んでしまうので、1つの文字について縮約すると、テンソルの次数は2次下がるを利用すことにする(^^

 

はベクトルなのだから、は2次のテンソル。そして、

  

は、j=iとしてを縮約したものだから、このテンソルの次数は2−2=0次になる。

 

は3次のテンソル。そして、

  

は、k=jとして3次のテンソルを縮約したものだから、このテンソルの次数は3−2=1次。

 

は4次のテンソル。

  

は、k=il=jとして4次のテンソルを縮約したものだから、このテンソルの次数は4−2−2=0次。

 

は2次のテンソル。

  

は、j=iとして2次のテンソルを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル。

 

最後くらい、真面目にやろうか。

  ten14-005.png

つまり、これは直交座標の変換によって変わらないのでスカラー、つまり、0次のテンソルである。

(解答終)

 

  

k=1のとき、

  

だから、

  

同様に、

  ten14-006.png

したがって、

  

である。


タグ:テンソル
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