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第17回 ひずみテンソル [ネコ騙し数学]

第17回 ひずみテンソル

 

ten17-fig-001.png固体内の1点Pが外力を受けてP'に移動したとする。

とおき、点Pの座標をとすると、vの関数になる。

また、点Pの近くの点Qの座標をとし、外力を受けて点QQ'に移動したとする。

  

とすれば、

  

だから、点Pに対する点Qの相対的な変位は

  

となる。

vの成分をとし、2次の項を無視すると、

  

はテンソルの成分だから、とおくと、(1)式は

  

テンソル

  

と対称テンソル、交代テンソルを用いて

  

とすると、相対的変位は

  

となる。

は交代テンソルだから

  

とおくと、はベクトルの成分となり、これを成分とするベクトルをwとすれば、

  

よって、(2)式の右辺第1項は変位に伴う純粋な歪をあらわし、第2項はのまわりを回転する起きる変位と考えることができる。したがって、歪は対称テンソルで表されると考えられる。

これを行列で表わせば、

  ten17-001.png

である。

 

は対称テンソル。その主方向を歪の主方向といい、その成分を係数とするテンソル2次曲面

  

をひずみの2次曲面という。ひずみテンソルの主値をとし、座標軸の方向を主方向にとるとき、ひずみテンソルの成分は

  

になる。

 

また、ひずみを表すテンソルが対称テンソルであるとき、

  

であるから、このとき、

  

となるポテンシャルφが存在する。

このとき、ひずみテンソルの成分は、

  

となり、このφひずみポテンシャルという。

 

問 直交座標系O-xyzにおいて、ひずみポテンシャルφ

  

であるとき、O-xyzに関するひずみテンソルを求めよ。

【解】

  

したがって、ひずみテンソルは

  


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