第１９回 ひずみテンソルと応力テンソルの関係

第１９回　ひずみテンソルと応力テンソルの関係

 

§１　ひずみテンソルと応力テンソルの関係

 

弾性体が変形し、その相対的な変位がvであるとする。このとき、ひずみテンソルΦの成分は

　　

となる。

等方的な弾性体では、応力テンソルΨとひずみテンソルΦの主軸は同じと考えられるので、ΦとΨの共通な主軸の方向の長さ１のベクトルをa、b、cとする。ひずみテンソルの主値と応力テンソルの主値をそれぞれε₁、ε₂、ε₃、σ₁、σ₂、σ₃としたとき、

　　

という関係が成り立つものとする。

等方的なので、

　　

と考えられので、（１）式を

　　

と変形することができる。

ここで、

　　

とすれば、（２）式は

　　

また、

　　

は不変量で、体積膨張率である。

したがって、

　　

である。

同様に、

　　

つまり、

　　

である。

このλ、μをLamé（ラメ）の定数と呼ぶ。

また、応力テンソルΨは

　　

これに（３）式を代入すると、

　　

単位テンソルをIとすると、

　　

また、

　　

だから、

　　

ひずみテンソルの成分を、応力テンソルの成分をとすると

　　

となる。

 

テンソル積と単位テンソルを行列で表すと、

　　　

だから、

　　

また、

　　

 

 

§２　弾性体の釣り合い

 

弾性体内の各点の密度ρに比例した力ρKが単位体積あたりに働いているとする。さらに、弾性体の変形にともなう応力テンソルをΨとする。

弾性体内の任意の領域をVとし、その表面をS、Sの外法線ベクトルをnとする。

このとき、力の釣り合いは

　　

（テンソルの）ガウスの発散定理から

　　

Vは任意に選べるので、

　　

となる。

これが弾性体の釣り合いの方程式である。

Kの成分を、Ψの成分をとすると、

　　

 

特に、K=0のとき、

　　

つまり、

　　

である。

弾性体が等方的であるとき、

　　

となるので、よって、（６）式は

　　

となる。

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