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第1回 三角比1 [ネコ騙し数学]


第1回 三角比1


これまで、三角関数についての話はしてきたけれど、三角関数のベースになる三角比についてはやって来なかったので、今回、その話をすることにするにゃ。


下に示すような、∠C=90°AB=cBC=aCA=bの直角三角形があるとする。

sankakuhi-01.jpg

このとき、三角比は次のように定義される。
  sankakuhi-01-01.png

ABCは∠C=90°の直角三角形なので、三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成立する。

  

c≠0なので、上の式の両辺をで割ると、

  

となり、①を使うと、

  


この導出過程を見れば明らかなように、②は三平方の定理⑨と同等で、三平方の定理を三角比で書き直したものである。

②を辺の長さであらわし直せば、

  

になり、この両辺にをかければ、a²+b²=c²になることから、このことがわかると思う。

また、

  

が成立する。

さらに、cosA≠0のとき、②の両辺をcos²Aで割ると、

  

になり、上の式に③の関係を用いると、

 


ということで、早速問題を解いてみることにする。


問題1 cosA=0.8のとき、sinAtanAの値を求めよ。

【解】

sinAcosAの間には、

  

という関係がある。

よって、

  

よって、

  


小数のままだと気づきにくいと思うのだけれど、これは、中学校で習った、辺の長さの比、a:b:c=3:4:5の直角三角形なんだケロ。

  

で、ピタゴラス数というやつだにゃ。
ちなみに、tanAは④を使っても求まるケロ。
  sankakuhi-01-03.png
今やっているのは、三角関数ではなく、(直角三角形の)三角比だケロ。これは直角三角形の辺の長さの比だから、三角関数とは違って、0や負の値になることはないにゃ。正の値しかとりえないにゃ。

さらに、もう一問。


問題2 次の等式を証明せよ。

  

【解】

  


ところで、直角三角形△ABCを次のように置くにゃ。

  sankakuhi-02.jpg
そうすると、

  

になる。

また、A+B=90°だから、B=90°−Aとなり、

  

という関係が出てくるにゃ。

あと、三角比で知っておくことは、

  

そして、

  

だにゃ。

A=45°のとき、直角三角形ABCは直角二等辺三角形になるのだから、

  

よって、

  


30°の場合は、一辺の長さがaの正三角形ABCの頂点AからBCに垂線をおろし、BCとの交点をHとする。

sankakuhi-03.jpg

こうすると、∠HAB=30°となり、さらに

  

となり、

  

cos30°は、三平方の定理を使ってAHを求めてもいいし、

  

として求めてもよい。

要するに、

  

だけ覚えておけば、あとは、三平方の定理、または、

  

などから、cosAtanAの値は求められってわけだ。


ちなみに、三角比の覚え方としては、次のものがあります。これで覚えるのが一番てっとり早くて安全です。。

sankakuhi.png











タグ:三角関数

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