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第4回 三角関数の角関係 [ネコ騙し数学]

第4回 三角関数の角関係


§1 三角関数の角関係

三角関数には、角関係と呼ばれる次のようなものあります。
  sankakuhi-04-01.png


(1)の関係については、この図を見れば、何故こうなるのか、わかると思うにゃ。

  sankaku-04-01.jpg


(2)は、次の図を見ればわかると思うにゃ。

sankaku-04-02.jpg
なのですが、

  

と導くことができる。

(3)は、次の図から、何故こうなるか、わかると思うにゃ。


三角関数の角関係については、お絵描きにまさるものはない。そして、繰り返し言っていますが、これらの公式は絶対に覚えてはいけない。覚えると、絶対に忘れるにゃ。忘れるだけでなく、覚え間違いをしているかもしれない。


とにかく、お絵描き。そして、sinθは、単位円のx座標の成分、cosθy座標の成分という基本さえ掴んでおけば、間違えることはない。


§2 問題


問題1 次の不等式を同時に満たす角度θは何象限か。

(1) sinθ<0cosθ>0  (2) cosθ<0tanθ>0

【解】

単位円(半径1の円)上の点P(x,y)とする。

そうすると、x=cosθy=sinθ


(1) x=cosθ<0y=sinθ>0。よって、第2象限。


(2)

  

よって、xyは同符号。

また、x=cosθ<0より、y<0

よって、x<0y<0となり、第3象限。


問題2 θは第3象限の角であり、

  

のとき、tanθの値を求めよ。

【解】

  

θは第3象限にあり、tanθ>0

よって、

  



問題3 0≦θ≦π/2のとき、

  

の最大値と最小値を求めよ。

【解】

グラフを書くと次のようになる。
sankaku-04-03.jpg

よって、θ=π/3のとき最大で最大値は3θ=0のとき最小で最小値は2


ちなみに、このグラフは、

  

を左にπ/6、上に1だけ平行移動したもの。

問題4 次の関数の最大値と最小値を求めよ。

  

【解】

(1) −1≦cosx≦1だから、ycosx=−1のとき最小で最小値は1cosx=1のとき最大で最大値は5。

(2) 答えだけ。最大値は5、最小値は1。(1)の結果を使えば、こうなるにゃ。

sankaku-04-04.jpg



問題5 次の方程式を満たす角θを求めよ。

  

【解】

(1)

ここで、単位円を書く。


sankakuhi-04-05.jpg

単位円なのでcosθは点Hだにゃ。直角三角形OAHで考えると、OH=√3/2だから、α=30°=π/6だにゃ。

ということで、

  

これを見るとわかるけれど、

  

と書ける。

なので、一般角は

  


をみて、θ=150°=5π/6という数字が頭の中に浮かぶヒトはこんな面倒なことをする必要はないけれど、θ=−5π/6が解であることを見落としたりするので、頭の中でこの図をイメージしたほうがいいと思うにゃ。


(2)

  


π/2<2θ<π/2の範囲でtan(2θ)=√3になるのは、2θ=60°=π/3(rad)のとき。tanは周期πだから、一般角はこの値にをつけないといけない。


(3)

  




タグ:三角関数

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