第8回 加法定理と中線定理 [ネコ騙し数学]
第8回 加法定理と中線定理
問題1 加法定理
(1) △ABCにおいてであることを証明せよ。
(2) (1)の結果を用いて、
であることを証明し、sin75°を求めよ。
【解】
(1) 第1余弦定理△ABCの外接円の半径をR>0とすると、正弦定理
これを①に代入すると、
(2)
(解答終わり)
あくまで形式的な議論だけれど、
また、
ゆえに、
と、余弦関数の加法定理を導くことができる。
さらに、
となり、
(1)で、第1余弦定理を使っているけれど、これは次の図を見れば第1余弦定理を覚えていなくても、その場で導くことができる。
問題2 中線定理
余弦定理を用いて中線定理が成り立つ弧を証明せよ。(MはBCの中点)
MはBCの中点だからBM=MC、また、cos(180°−θ)=−cosθ。
よって、
ゆえに、
問題3 (公式?)
△ABCにおいて、1辺の長さaとその両端の角B、Cが与えられているとき、三角形の面積Sは【解】
正弦定理
これを①に代入すると、
また、
よって、
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