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第8回 加法定理と中線定理 [ネコ騙し数学]

第8回 加法定理と中線定理


問題1 加法定理

(1) △ABCにおいて

  

であることを証明せよ。

(2) (1)の結果を用いて、

  

であることを証明し、sin75°を求めよ。

【解】

(1) 第1余弦定理

  

ABCの外接円の半径をR>0とすると、正弦定理

  

これを①に代入すると、

  


(2)

  


  sankaku-08-02.png

(解答終わり)

あくまで形式的な議論だけれど、

  

また、

  

ゆえに、

  

と、余弦関数の加法定理を導くことができる。

さらに、

  

となり、

  


(1)で、第1余弦定理を使っているけれど、これは次の図を見れば第1余弦定理を覚えていなくても、その場で導くことができる。

sankaku-08-01.jpg


問題2 中線定理

余弦定理を用いて中線定理

  

が成り立つ弧を証明せよ。(MBCの中点)

【解】
sankaku-08-02.jpg

  

MBCの中点だからBM=MC、また、cos(180°−θ)=−cosθ

よって、

  

ゆえに、

  


問題3 (公式?)

ABCにおいて、1辺の長さaとその両端の角BCが与えられているとき、三角形の面積S

  

【解】

  

正弦定理

  

これを①に代入すると、

  

また、

  

よって、

  




タグ:三角関数

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