第９回 三角関数の加法定理

第９回　三角関数の加法定理

§１　加法定理

前回の第８回で加法定理を証明したのだけれど、三角形限定の証明なので、より一般的な証明を与えることにする。

行列と一次変換（回転）を用いて証明する証明が一般的なのですが、ねこ騙し数学では行列や一次変換をまだ正式にやっていないので、ベクトルの内積を用いた証明を紹介。

上図のように、単位円（半径１の円）周上に２点、A、Bがあり、線分OA、OBがx軸と角度α、βをなしているとする。このとき、

 　　

であり、

　　

また、

　　

よって

　　

①より、
　　

さらに、

　　

この③を使って

　　

この結果をまとめると、

　　

問題１　次の値を求めよ。

（１）　sin75°、cos75°、tan75°　　（２）　sin15°、cos15 °、tan15°

【解】

（１）　α=45°、β=35°として、加法定理を使うにゃ。

　　

cos75°に対しても、加法定理を使って

　　

と計算してもいいし、三角関数の基本公式

　　

を使って

　　

としてもよい。0°<75°<90°だから、cos75°>0！！

　　

tan30°、tan45°を求めて、さらに加法定理で計算するなんて、阿呆のやることだにゃ(^^ゞ

公式を憶えているから、そんな阿呆な解法を思いつく。

（２）　α=60°、β=45°やα=45°、β=30°として、sin(α−β)=sinαcosβ−sinβcosαを使えば・・・。

【答】

　　

（１）の答えと似ているが、これは偶然、必然(・・?

15°=90°−75°ではある。

問題２

　　

のとき、sin(α+β)、cos(α+β)の値を求めよ。ただし、αは鋭角、βは鈍角とする。

【解】

sinα=1/2のとき、αは鋭角なのでcosα>0

　　

sinβ=1/3のとき、βは鈍角なので、cosβ<0

　　

よって、
　　　

sinα=1/2で、αは鋭角なので、α=30°。よって、

　　

としてもよい。

§２　倍角公式と半角公式

　　

に対して、α=βとすると、
　　

これを三角関数の倍角公式という。

cosの倍角公式に注目すると、

　　

になる。

θ=2αとすると、上の式は

　　

となる。この式を半角公式と呼ぶ。

この半角公式を用いると、問題１（２）のsin15°、cos15°は、θ=30°として

　　

と求めることができる。

問題１の（２）と値が違うように見えますが、これは同じ値だケロ！！

問題３　k=tanxとすると、

　　

となることを証明せよ。

【解】

　　

上の解答では

　　

を使っている。

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