第１４回 幾何的な問題を・・・

第１４回　幾何的な問題を・・・

三角関数の最終回として、その応用として、幾何的な問題を幾つか解いてみることにする。

問題１　acosA=bcosBを満足する△ABCはどのような三角形か。ただし、a=BC、b=CAとする。

【解】

余弦定理より

　　

よって、
　　

よって、BC=CAの二等辺三角形、または、∠C=90°の直角三角形。

問題２　次の問いに答えよ。

（１）　AB=4、AC=3、∠BAC=30°を満足する△ABCがある。この三角形の面積を求めよ。

（２）　AB=4、AC=3、∠ABC=30°を満足する△ABCがある。この三角形の面積を求めよ。

【解】

（１）
　　

（２）　BC=aとする。余弦定理より

　　

面積は

　　

問題３　△ABCで

　　

のとき、

　　

を求めよ。

【解】

　　

とおく。

　　

①の右辺と左辺を足し合わせると、

　　

②を①で引くと

　　

正弦定理
　　

余弦定理から

　　

よって

　　

問題４　３辺の長さがそれぞれ１３、８、７である三角形について次の値を求めよ。

（１）　面積　　（２）　最大角　　（３）　外接円の半径　　（４）　内接円の半径

【解】

（１）　ヘロンの公式は使わないにゃ。

a=13、b=8、c=7とおき、余弦定理を使うケロ！！

　　

これから、A=120°と分かるにゃ。

よって、

　　

よって、面積Sは

　　

（２）　最大角は１２０°

 

（３）　外接円の半径をRとすると、正弦定理より

　　

（４）　内接円の半径をrとすると

　　

（１）では、

　　

からAを求め、そして、sinAを計算しているけれど、

　　

と求めることができる。
さらに、補足すると、最大角は、辺の長さが最も大きい辺に対応する角になる。

ちょっと自慢していいケロか？
この図は正確なんだにゃ。
何と、分度器で測ると、（１）の答え、∠A=120°が出てくるという優れもの(^^ゞ
嘘だと思うなら測ってみろ！！

タグ：三角関数