第５回 四角形と三角形の等積変形

第５回　四角形と三角形の等積変形

第４回§３平行四辺形の面積と三角形の面積の系から、三角形の面積について、次のことが成り立つ。

系２　線分ABと同じ側に２点P、Qがあり

（１）　ABとPQが平行ならば、△PAB=△QAB

（２）　△PAB=△QABならば、ABとPQは平行である

前回の系からほとんど明らかだから証明はしないにゃ。

２点P、Qを結ぶ直線をlとする。

（１）については線分ABと線分PQが平行ならば、線分ABと直線lとの距離、つまり、三角PABと△QABの高さは同じだから、系１より△PAB=△QABになる。

（２）は、２点P、Qが同じ側にあるのだから、△PAB=△QABならば、三角形の高さ、つまり、線分ABと線分lとの距離が一定で、線分ABと直線lは平行となり、ABとPQは平行になる。

ちなみに、△PAB=△QABと書いたら、△PABと△QABの面積が等しいことをあらわす。だから、合同をあらわす△PAB≡△QABとは異なる意味を表すので、この点は注意して欲しい。

この系は、△PABと、ABに平行で点Pを通る直線上の任意の点Rと点A、Bとで作られるP△ABの面積は等しいことを表しており、このような点Rを使って、その面積を変えることなく△PABを△RABに変形できる、等積変形できることになる。

この性質を利用すると、次のように、四角形ABCDを△APDに変形することができる。

DBとCPは平行だから、

　　△CDB=△PDB

△DABは共通なので、

　　四角形ABCD=△ABD+△CDB=△ABD+△CDB=△APD

となり、四角形ABCD=△APDになる。

次に、三角形の面積の二等分法を紹介。

問題１　BCの中点を利用して、AB上の点Pを通る直線で△ABCを２等分せよ。

【解】

PMを結び、点Aを通るPMに平行な直線を引く、そして、この交点をQとする。

PMとAQは平行なので、

　　△PMA=△PMQ

よって、

　　△ABM=△PBM+△PMA=△PBM+△PMQ=△PBQ

MはBCの中点なので、

　　

よって、△PBQは△ABCを２等分している。

問題２　平行四辺形ABCDのBCの延長上の点をE、EAとCDの交点をFとする。△DFE=△FBCを証明せよ。

【解】

ABとDCは平行なので、

　　△ACF=△BCF　　①

また、CEとADは平行なので

　　△ACE=△CED

△ACEと△CEDでは、△ECFは共通しているので、

　　△ACF=△DFE　　②

①と②より

　　△DFE=△BCF

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