第８回 問題演習

第８回　問題演習

問題１　次の図のxをa、b、cを用いてあらわせ。

【解】

外角定理より

　　

問題２　線分AB上に点Cをとり、正三角形ACD、CDEをかき、AとE、BとDを結ぶ。

△ACE≡△DCBであることを証明せよ。

【解】

　　AC=DC

　　CE=CB

　　∠ACE=∠DCB　（∵　∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠CBE=∠DCB）

よって、

　　△ACE≡△DCB

ちなみに、△ACDと△CDEは正三角形なので、∠ACD=∠CBE=60°

問題３

平行四辺形辺BCの延長上の点をEとし、∠DCEと∠CDEの二等分線が辺ADまたはその延長上で交わるてんをそれぞれF、Gとする。DF=DGであることを証明せよ。

【解】

仮定より、

∠BCF=∠FCD

また、BCとADは平行なので

　　∠DFC=∠BCF=∠FCD

よって、△DFCは二等辺三角形で

　　DF=DC　　①

同様に、

　　∠DCG=∠CGD

よって、

　　DC=DG　　②

①、②より

　　DF=DG

問題４

AB=ACである二等辺三角形ABCで、AC上に点をとると、AD=DB=BCであった。

（１）　BDは∠Bの二等分線であることを証明せよ。

（２）　∠Aの大きさを求めよ。

【解】

（１） a=∠Aとする。

AD=DBなので△DBAは二等辺三角形で、

　　∠DBA=∠A=a

外角定理より

　　∠CDB=2a

また、DB=DCなので

　　∠C=∠CDB=2a

さらに、AB=ACなので

　　∠B=∠C=2a

よって、BDは∠Bの二等分線である。

（２）　∠A+∠B+∠C=a+2a+2a=5a=180°

よって、

　　∠A=a=36°

問題５

平行四辺形ABCDの∠Dの二等分線と辺AB、BCまたはその延長との交点E、Fとする。

（１）　∠AED=30°ならば、∠ABCは何度か。

（２）　AE=BCであることを示せ。

【解】

（１）　AEとDCは平行であり、錯角は等しいから

　　

平行四辺形の対角は等しいので

　　∠ABC=∠D=60°

（２）　∠E=∠ADE

よって

　　AE=AD=BC

問題はここまでなのですが、これで終ったら、ちょっとつまらないな。

（３）　AD=9、FC=6のとき、ABの長さを求めよ。

答えは6だにゃ。

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