第11回 相似3 [ネコ騙し数学]
相似3
【解】
【解】
となり、これは何かというとaとbの調和平均と呼ばれるものだにゃ。
問題1 △ABCの∠Aの外角の2等分線が辺BCの延長と交わる点をDとすれば
であることを証明せよ。
【解】
Cを通りADに平行な直線と辺ABの交点をFとする。
だから
∠FCA=∠DAC (錯角)
∠CFA=∠EAD (同位角)
よって、△AFCは二等辺三角形。AF=AC
また、だから、
よって、
(証明終わり)
なので、前回の問題と合せて、次の定理が成立する。
定理 △ABCにおいて、∠A(またはその外角)の2等分線が対辺(または、その延長線)と交わる点をDとすると、
AD:AC=BD:CD
である。問題2 である台形ABCDがある。ABをm:nに内分した点をMとし、MからADに平行線を引きDCとの交点をNとするとき、次の等式を証明せよ。
(1)
だから
(2) 対角線ACとMNの交点をLとする。
△ABCと△AMLの相似比はm+n:mなので△CDAと△CNLの相似比はm+n:nなので
よって、
(問題終わり)
まさかと思うけれど、なぜ、△ABC∽△AMLになるのかはわかるよね?
MLとBCが平行なので、∠AML=∠ABC (同位角)
∠MLA=∠BCA (同位角)∴ △ABC∽△AML
問題3
で、AB=a、CD=b、PQ=cであるとき、次の関係が成り立つことを示せ。
【解】
ABとCDが平行なので
∠PAB=∠PCD∠PBA=∠PDC
∴ △PAB∽△PCD△PAB∽△PCDだから
また、
よって
(証明終わり)
上の証明では、△PAB∽△PCDを証明しているけれど、
から、平行線と線分の比の関係を用いて
としてもいいにゃ。
問題3のcは
や
で求められるという話で、これを使うと、前回の問題は
と求めることができる。
で、さらにAとDを直線で結び、QPの延長線とADの交点をOとする。
なので、
となり、これは何かというとaとbの調和平均と呼ばれるものだにゃ。
これまでに、相加平均、相乗平均が出てきたにゃ。
a>0、b>0のときそして、
相加平均≧相乗平均
だにゃ。
新たに出てきた調和平均と相加平均、相乗平均の大小関係ですが、相乗平均/調和平均は
なので、相乗平均≧調和平均となり、
a>0、b>0のとき
となるのであった。