第１３回 メネラウスの定理とチュバの定理

第１３回　メネラウスの定理とチュバの定理

§１　メネラウスの定理

メネラウスの定理

△ABCの辺AB、BC、CAまたはその延長が、１つの直線とそれぞれP、Q、Rと交わるとき

　　

である。



【証明】

直線lに平行でCを通る直線とABの交点をDとする。

CDと直線ｌは平行なので、

　　

よって、

　　

（証明終わり）

定理（メネラウスの定理の逆）

△ABCの辺AB、BC、CAの延長上、または、それらの延長上と２つの辺上にそれぞれP、Q、Rがあり、

　　

ならば、３点P、Q、Rは１直線上にある。

【証明】
図のように、

　　

を満たす点Rがあるとする。

PとQを結ぶ直線lとACの交点をR'とする。

メネラウスの定理より

　　

となる。

①と②より

　　
辺CAの内分比が同じ点なのでR=R'で、①のとき、P、Q、Rは１直線上にある。

（証明終わり）

こういう証明は、背理法のほうがスッキリするのではないか。

そして、この証明に使用した図は背理法を意識したもの。こう書く以外に図の書きようがないケロ！！

§２　チュバの定理

チュバの定理の証明に入る前に、まず、次の図に示される△ABPと△ACPの面積比を考えることにする。

この図から、

　　

であることがわかる。

また、△DBH∽△DCKだから、

　　

よって、

　　

になる。

定理（チュバの定理）

△ABCの辺上にない１点P、A、B、Cとを結ぶ直線が、それぞれ、対辺またはその延長と交わる点をそれぞれD、E、Fとすると、

　　

である。

【証明】
△ABPと△ACPとはAPを共有しているので

　　

同様に

　　

よって、

　　

（証明終わり）

なのですが、これはメネラウスの定理を使って次のように証明することも可能。

【別証】

メネラウスの定理より、

　　

同様に、メネラウスの定理より

　　

①÷②

　　

（証明終わり）

メネラウスの定理と同様に、チュバの定理も逆が成り立つケロ。

定理　（チュバの定理の逆）
△ABCがあり、辺、BC、CA、ABの辺上に点D、E、Fがあり、

　　

ならば、AD、BE、CFは一点で交わる。

§３　問題

メネラウスの定理、チュバの定理を知っていても、使えなければ意味がない。

ということで、問題。

問題

BO：OQとAP：POを求めよ。

【解】

△ABQとRCに注目。

メネラウスの定理より、

　　

よって、BO:OQ=1:2。

△AQOとRCに注目。

メネラウスの定理より

　　

よって、AP:PO=6:1

メネラウスやチュバの定理を使えば、このように線分比が求まるという話でした。

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