第１４回 問題演習

第１４回　問題演習

問題１　

△ABCがある。辺ABを１：２に内分する点をP、BCを３：２に内分する点をQ、直線AQと直線CPの交点をOし、点B、Oを通る直線とCAの交点をRとする。

次の問いに答えよ。

（１）　CR：RAを求めよ。

（２）　QO：OAを求めよ。

（３）　△OBQ：△ABCを求めよ。

【解】

（１）　チュバの定理より
　　

よって、CR：RA=4:3

（２）　メネラウスの定理より

　　

よって、OQ：QA=4：５

（３）　△OBCと△ABCは底辺BCが共通なので、その面積比は

　　

また、△OBQと△OBCは高さが共通なので、面積比は

　　

よって

　　

（解答終わり）

 

問題２　∠A=∠Dである２つの三角形、△ABC、△DEFがある。このとき、面積比は

　　

であることを証明せよ。

【証明】

　　

（証明終わり）

確かにそうなのですが、次の図を参考に線分比から証明して欲しいにゃ。

と、思ったけれど、付き合いが長いにゃ、オレには、「こいつらは絶対にやらない」という確信があるにゃ。

だから、不本意だけれど、やるにゃ。

△AEFと△ADBは、AE、ABを底辺と考えると、高さが共通だから、その面積比は

△ABFと△ABCの底辺をAF、ACと考えると、高さが共通なので、その面積比は

①と②の辺々を掛けると、△ABFが消えて

△AEFと△DEFは同じ、合同だから

この逆数をとれば、答えになるにゃ。

 

問題３　△ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、Fをとり、

　　

とするとき、△DEFと△ABCの値を求めよ。

【解】

△ABCから薄い紫色の部分を引いたものが△DEFだケロ。

△ABCと△ADFに注目すると

　　

これと問題２より

　　

△BED、△CFEについても同様に

　　

よって、

　　

（解答終わり）

問題４　△ABC内の任意の点をOとし、AO、BO、COの延長と対辺との交点をD、E、Fとするとき、次の等式を証明せよ。

（１）　

（２）　

【解】

（１）　△ABCと△OBCの底辺をBCとすれば、その面積比は

　　

同様に、

　　

よって、

　　

（２）

　　

（解答終わり）

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