番外編 調和数列

番外編　調和数列

調和平均、調和点列が出てきたので、さらに話を進めて、調和数列。

例えば、

　6,, 2, 3/2, …

という数の列、数列のように、その逆数が等差数列になる数列を調和数列という。
先にあげた

　　

の場合、逆数をとると

　　

となり、初項が1/6で公差1/6の等差数列になっていることが分かる。

　　

とすると、

　　

となる。

n=1,2,3を代入すれば、こうであることが確かめられる。

ちなみに、が初項y₁で公差dの等差数列であるとき、

　　

となる。

だから、

　　

となる。

また、の始めの２項がa、bであるとき

　　

となる。

等差数列は隣接する二項の差が一定なので

　　

という関係があり、調和数列の場合は、その定義から

　　

となる。

ということで、隣接する三項がa、b、cであるとき、等差数列の場合、

　　

という関係がある。

また、a、b、cが調和数列の場合、

　　

となる。つまり、隣接する３項の真ん中の項bはaとbの調和平均になっているんだにゃ。

問題　直角三角形の３辺の長さa、b、c（cが斜辺）が等差数列をなすとき、a:b:cを求めよ。

【解】

a、b、cが等差数列をなすので、

　　

また、cを斜辺とする直角三角形になるので

　　

①にこの結果を代入すると

　　

よって、

　　

（解答終わり）

ということで、明日は「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」をやるにゃ。
そして、調和数列、調和点列は、円のところでまた出てくるにゃ。

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