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第18回 中線定理 [ネコ騙し数学]

第18回 中線定理


§1 中線定理


中線定理は三角関数のところで証明していますが、三平方定理を用いて新たに証明することにします。

中線定理(ハップスの定理)

ABCの辺BCの中点をMとすれば

【証明】

鋭角三角形の場合(∠C<90°

sanheihou-02-01.jpg

AからBCに垂線をおろし、交点をHとする。

ABHは直角三角形なので

  

AHCも直角三角形

  

①と②を足すと、

  

AMHも直角三角形

  

よって、

  


鈍角三角形の場合(∠C>90°

図のように、BCの延長線上にAからおろし、その交点をHとする。

sanheihou-02-02.jpg

ABHは直角三角形

  

ACHも直角三角形
よって、

  

AMHも直角三角形

  

よって、

  

(証明終わり)

なお、次のような直角三角形のとき、中線定理(ハップスの定理)は三平方の定理になる。

直頂角Aの直角三角形ABCの場合、

  

なので

  

となる。

ちなみに、他の幾何の定理がそうであるように、逆も成り立つにゃ。


中線定理をさらに一般にしたスチュワートの定理がある。


スチュワートの定理

三角形ABCと辺BC上の点Pに対して

  

sanheihou-02-04.jpg

 


§2 問題


問題1 Aが直頂角の直角三角形ABCにおいて、辺AB、辺ACにそれぞれDEをとれば、

  

であることを証明せよ。

sanheihou-02-05.jpg

【解】

  


もういいでしょう。

問題2 二等辺三角形ABCの底辺BC上の1点をDとすれば、次の等式が成り立つことを証明せよ。

  

【解】

sanheihou-02-06.jpg

底辺の中点MAを結び、その交点をMとする。

ABCは二等辺三角形なので

  AM⊥BC

DBM上にあるとする。

ABMと△ADMは直角三角形なので三平方の定理が成り立ち、

  

よって、
  


また、

  

よって、

  

DMC上にあるときも同様。

  

(証明終わり)

 


問題3 四角形ABCDの辺ARBCCDDAの中点をそれぞれPQRSとするとき、

  

であることを証明せよ。

sanheihou-02-09.jpg

【証明】

四角形PQRSの対角線の交点をOとする。

中点連結定理より、

  

故に、四角形PQRSは平行四辺形。

また、同様に中線連結定理から

  

平行四辺形なので、対角線は互いを2等分する。

QRPに対して中線定理を使うと

  

また、

  

だから、
  shotou-18-04.png

①と②より

  shotou-18-05.png

(証明終わり)


タグ:初等幾何

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